Номер 472, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

472. 1) $\left(\frac{1}{81}\right)^{-0,75} + \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{4}{3}}$

2) $(0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}}$

3) $10^7 : 10^{\frac{2}{7}} - 5^{\frac{6}{5}} \cdot 5^{\frac{4}{5}}$

4) $\left(5^{-\frac{2}{5}}\right)^{-5} + (0,2)^{-\frac{3}{4}}$

1) $(\frac{1}{81})^{-0,75} + (\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}}$

Сначала преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь: $-0,75 = -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4}$.

Теперь вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ и $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.

Первое слагаемое: $(\frac{1}{81})^{-\frac{3}{4}} = (81)^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3$. Так как $3^4=81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$. Следовательно, $(\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27$.

Второе слагаемое: $(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}} = (27)^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{27})^4$. Так как $3^3=27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$. Следовательно, $(\sqrt[3]{27})^4 = 3^4 = 81$.

Суммируем полученные значения: $27 + 81 = 108$.

Ответ: 108

2) $(0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}}$

Преобразуем десятичные числа и степени в обыкновенные дроби: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$; $-1,5 = -\frac{3}{2}$; $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Выражение принимает вид: $(\frac{1}{25})^{-\frac{3}{2}} - (\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}$.

Первый член: $(\frac{1}{25})^{-\frac{3}{2}} = (25)^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125$.

Второй член: $(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = (8)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Вычисляем разность: $125 - 4 = 121$.

Ответ: 121

3) $10^{\frac{9}{7}} : 10^{\frac{2}{7}} - 5^{\frac{6}{5}} \cdot 5^{\frac{4}{5}}$

Используем свойства степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), а при умножении — складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Первая часть выражения: $10^{\frac{9}{7}} : 10^{\frac{2}{7}} = 10^{\frac{9}{7} - \frac{2}{7}} = 10^{\frac{7}{7}} = 10^1 = 10$.

Вторая часть выражения: $5^{\frac{6}{5}} \cdot 5^{\frac{4}{5}} = 5^{\frac{6}{5} + \frac{4}{5}} = 5^{\frac{10}{5}} = 5^2 = 25$.

Вычисляем разность: $10 - 25 = -15$.

Ответ: -15

4) $(5^{-\frac{2}{5}})^{-5} + ((0,2)^{\frac{3}{4}})^{-4}$

Используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Первое слагаемое: $(5^{-\frac{2}{5}})^{-5} = 5^{(-\frac{2}{5}) \cdot (-5)} = 5^2 = 25$.

Для второго слагаемого сначала преобразуем десятичную дробь $0,2$ в обыкновенную: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Второе слагаемое: $((0,2)^{\frac{3}{4}})^{-4} = ((\frac{1}{5})^{\frac{3}{4}})^{-4} = (\frac{1}{5})^{\frac{3}{4} \cdot (-4)} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$.

Суммируем полученные значения: $25 + 125 = 150$.

Ответ: 150