Номер 468, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава IV. Степень с действительным показателем. §4. Степень с рациональным и действительным показателями - номер 468, страница 162.

Условие.

468. (Устно.) Представить в виде корня из степени с целым показателем:

1) $a^{\frac{1}{4}}$; 2) $b^{\frac{3}{5}}$; 3) $a^{-\frac{5}{6}}$; 4) $b^{-\frac{1}{3}}$; 5) $(2y)^{\frac{1}{3}}$; 6) $(5b)^{-\frac{3}{4}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы представить степень с рациональным показателем в виде корня из степени с целым показателем, используется общее правило:$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$,где $a$ – основание степени, $m$ – показатель степени под корнем (целое число), а $n$ – показатель корня (натуральное число, $n \ge 2$).

1) В выражении $a^{\frac{1}{4}}$ числитель показателя $m=1$, а знаменатель $n=4$. Применяя формулу, получаем корень четвертой степени из $a$ в первой степени.
$a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a^1} = \sqrt[4]{a}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a}$

2) В выражении $b^{\frac{3}{5}}$ числитель показателя $m=3$, а знаменатель $n=5$. По формуле получаем корень пятой степени из $b$ в третьей степени.
$b^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{b^3}$.
Ответ: $\sqrt[5]{b^3}$

3) В выражении $a^{-\frac{5}{6}}$ числитель показателя $m=-5$, а знаменатель $n=6$. Применяя формулу, получаем корень шестой степени из $a$ в степени -5.
$a^{-\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^{-5}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a^{-5}}$

4) В выражении $b^{-\frac{1}{3}}$ числитель показателя $m=-1$, а знаменатель $n=3$. По формуле получаем корень кубический из $b$ в степени -1.
$b^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{b^{-1}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{b^{-1}}$

5) В выражении $(2y)^{\frac{1}{3}}$ основанием является $2y$, числитель показателя $m=1$, а знаменатель $n=3$. Применяя формулу, получаем корень кубический из выражения $(2y)$ в первой степени.
$(2y)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(2y)^1} = \sqrt[3]{2y}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2y}$

6) В выражении $(5b)^{-\frac{3}{4}}$ основанием является $5b$, числитель показателя $m=-3$, а знаменатель $n=4$. По формуле получаем корень четвертой степени из выражения $(5b)$ в степени -3.
$(5b)^{-\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(5b)^{-3}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{(5b)^{-3}}$