Номер 464, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

464. Упростить выражение:

1) $\sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 - 30\sqrt{2}};$

2) $\sqrt{109 + 12\sqrt{3}} - \sqrt{109 - 12\sqrt{3}}.$

Для упрощения выражения $\sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 - 30\sqrt{2}}$ воспользуемся формулой для сложных радикалов, которая вытекает из формулы квадрата суммы и разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Мы стремимся представить подкоренные выражения в виде полных квадратов.

Рассмотрим первое слагаемое $\sqrt{43 + 30\sqrt{2}}$. Попробуем представить выражение под корнем $43 + 30\sqrt{2}$ в виде $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.Сравнивая это с нашим выражением, можно предположить, что $2ab = 30\sqrt{2}$ и $a^2 + b^2 = 43$.Из первого уравнения получаем $ab = 15\sqrt{2}$.Можно догадаться или подобрать такие $a$ и $b$. Например, пусть $a = 5$ и $b = 3\sqrt{2}$.Проверим, выполняется ли второе равенство: $a^2 + b^2 = 5^2 + (3\sqrt{2})^2 = 25 + 9 \cdot 2 = 25 + 18 = 43$.Условие выполняется, следовательно, $43 + 30\sqrt{2} = (5 + 3\sqrt{2})^2$.

Аналогично для второго слагаемого $\sqrt{43 - 30\sqrt{2}}$. Можно проверить, что $43 - 30\sqrt{2} = (5 - 3\sqrt{2})^2$, так как$ (5 - 3\sqrt{2})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 25 - 30\sqrt{2} + 18 = 43 - 30\sqrt{2}$.

Теперь подставим полученные полные квадраты в исходное выражение:$\sqrt{(5 + 3\sqrt{2})^2} + \sqrt{(5 - 3\sqrt{2})^2} = |5 + 3\sqrt{2}| + |5 - 3\sqrt{2}|$.

Так как корень арифметический, значения выражений под модулем должны быть неотрицательными.Выражение $5 + 3\sqrt{2}$ очевидно положительно.Чтобы определить знак выражения $5 - 3\sqrt{2}$, сравним $5$ и $3\sqrt{2}$. Возведем оба числа в квадрат: $5^2 = 25$ и $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.Поскольку $25 > 18$, то $5 > 3\sqrt{2}$, и, следовательно, $5 - 3\sqrt{2} > 0$.Значит, $|5 + 3\sqrt{2}| = 5 + 3\sqrt{2}$ и $|5 - 3\sqrt{2}| = 5 - 3\sqrt{2}$.

В результате получаем:$(5 + 3\sqrt{2}) + (5 - 3\sqrt{2}) = 5 + 3\sqrt{2} + 5 - 3\sqrt{2} = 10$.

Ответ: $10$.

Упростим выражение $\sqrt{109 + 12\sqrt{3}} - \sqrt{109 - 12\sqrt{3}}$. Будем действовать аналогично первому пункту, представляя подкоренные выражения в виде полных квадратов.

Рассмотрим $\sqrt{109 + 12\sqrt{3}}$. Представим $109 + 12\sqrt{3}$ в виде $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.Отсюда получаем систему уравнений: $a^2 + b^2 = 109$ и $2ab = 12\sqrt{3}$, что дает $ab = 6\sqrt{3}$.Подберем значения для $a$ и $b$. Например, пусть $a=6\sqrt{3}$ и $b=1$.Проверим второе равенство: $a^2 + b^2 = (6\sqrt{3})^2 + 1^2 = 36 \cdot 3 + 1 = 108 + 1 = 109$.Условия выполняются, следовательно, $109 + 12\sqrt{3} = (6\sqrt{3} + 1)^2$.

Соответственно, для $109 - 12\sqrt{3}$ имеем:$(6\sqrt{3} - 1)^2 = (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 108 - 12\sqrt{3} + 1 = 109 - 12\sqrt{3}$.

Подставим полученные выражения в исходное:$\sqrt{(6\sqrt{3} + 1)^2} - \sqrt{(6\sqrt{3} - 1)^2} = |6\sqrt{3} + 1| - |6\sqrt{3} - 1|$.

Определим знаки выражений под модулями.$6\sqrt{3} + 1$ очевидно положительно.Для $6\sqrt{3} - 1$ сравним $6\sqrt{3}$ и $1$. Возведем в квадрат: $(6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$ и $1^2 = 1$.Так как $108 > 1$, то $6\sqrt{3} > 1$, и выражение $6\sqrt{3} - 1$ положительно.

Таким образом, раскрывая модули, получаем:$(6\sqrt{3} + 1) - (6\sqrt{3} - 1) = 6\sqrt{3} + 1 - 6\sqrt{3} + 1 = 2$.

Ответ: $2$.