Номер 460, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

460. Упростить:

1) $\sqrt[3]{(x-2)^3}$ при: а) $x \ge 2$; б) $x < 2$;

2) $\sqrt{(3-x)^6}$ при: а) $x \le 3$; б) $x > 3$;

3) $\sqrt[4]{(x+6)^4} + \sqrt{(x-3)^2}$, если $-1 < x < 2$;

4) $\sqrt[6]{(2x+1)^6} - \sqrt[4]{(4+x)^4}$, если $-3 < x < -1$.

1) Упростим выражение $\sqrt[3]{(x-2)^3}$.

По определению корня нечетной степени, для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$. В данном случае показатель корня (3) является нечетным числом, поэтому $\sqrt[3]{(x-2)^3} = x-2$ независимо от знака выражения $(x-2)$.

а) при x ≥ 2:
Выражение равно $x-2$.
Ответ: $x-2$.

б) при x < 2:
Выражение также равно $x-2$.
Ответ: $x-2$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(3-x)^6}$.

По определению корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Выражение можно представить в виде $\sqrt{((3-x)^3)^2}$. Применяя свойство корня четной степени, получаем: $\sqrt{((3-x)^3)^2} = |(3-x)^3|$. Знак выражения $(3-x)^3$ совпадает со знаком выражения $(3-x)$, поэтому рассмотрим два случая.

а) при x ≤ 3:
Если $x \le 3$, то $3-x \ge 0$. Следовательно, $(3-x)^3 \ge 0$. Модуль неотрицательного числа равен самому числу: $|(3-x)^3| = (3-x)^3$.
Ответ: $(3-x)^3$.

б) при x > 3:
Если $x > 3$, то $3-x < 0$. Следовательно, $(3-x)^3 < 0$. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|(3-x)^3| = -(3-x)^3 = (x-3)^3$.
Ответ: $(x-3)^3$.

3) Упростим выражение $\sqrt[4]{(x+6)^4} + \sqrt{(x-3)^2}$, если $-1 < x < 2$.

Используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$ для обоих слагаемых, так как показатели корней (4 и 2) четные:
$\sqrt[4]{(x+6)^4} = |x+6|$
$\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$
Исходное выражение равно $|x+6| + |x-3|$.

Раскроем модули с учетом условия $-1 < x < 2$:
1. Для $|x+6|$: так как $-1 < x < 2$, прибавив 6 ко всем частям неравенства, получим $5 < x+6 < 8$. Выражение $x+6$ положительно, значит $|x+6| = x+6$.
2. Для $|x-3|$: так как $-1 < x < 2$, отняв 3 от всех частей неравенства, получим $-4 < x-3 < -1$. Выражение $x-3$ отрицательно, значит $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.
Подставляем полученные выражения и упрощаем: $(x+6) + (3-x) = x+6+3-x = 9$.
Ответ: $9$.

4) Упростим выражение $\sqrt[6]{(2x+1)^6} - \sqrt[4]{(4+x)^4}$, если $-3 < x < -1$.

Используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$ для обоих членов выражения, так как показатели корней (6 и 4) четные:
$\sqrt[6]{(2x+1)^6} = |2x+1|$
$\sqrt[4]{(4+x)^4} = |4+x|$
Исходное выражение равно $|2x+1| - |4+x|$.

Раскроем модули с учетом условия $-3 < x < -1$:
1. Для $|2x+1|$: умножим неравенство на 2, получим $-6 < 2x < -2$. Прибавим 1 ко всем частям: $-5 < 2x+1 < -1$. Выражение $2x+1$ отрицательно, значит $|2x+1| = -(2x+1) = -2x-1$.
2. Для $|4+x|$: прибавим 4 ко всем частям неравенства: $1 < 4+x < 3$. Выражение $4+x$ положительно, значит $|4+x| = 4+x$.
Подставляем полученные выражения и упрощаем: $(-2x-1) - (4+x) = -2x-1-4-x = -3x-5$.
Ответ: $-3x-5$.