Номер 461, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

461. Упростить выражение:

1) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$

2) $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$

3) $\left(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} - \sqrt[3]{ab}\right) : \left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2$

1)

Исходное выражение: $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$.

Сначала упростим первую дробь. Заметим, что числитель является разностью квадратов, так как $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2$.

$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt[4]{a})^2-(\sqrt[4]{b})^2}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}$.

Теперь упростим вторую дробь. В числителе можно вынести за скобки общий множитель $\sqrt[4]{a}$, так как $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}$.

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt[4]{a})^2+\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} = \frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{a}$.

Теперь выполним вычитание упрощенных выражений:

$(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}) - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b}$.

Ответ: $\sqrt[4]{b}$.

2)

Исходное выражение: $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$.

Упростим первую дробь, используя формулу разности кубов $a-b = (\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3 = (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})$.

$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$.

Упростим вторую дробь, используя формулу суммы кубов $a+b = (\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 = (\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})$.

$\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$.

Теперь вычтем второе упрощенное выражение из первого:

$(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}) - (\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}) = \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2} - \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{b^2} = 2\sqrt[3]{ab}$.

Ответ: $2\sqrt[3]{ab}$.

3)

Исходное выражение: $\left(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} - \sqrt[3]{ab}\right) : (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2$.

Сначала упростим выражение в скобках. Преобразуем дробь, используя формулу суммы кубов $a+b = (\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3$.

$\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$.

Теперь подставим это в скобки и вычтем $\sqrt[3]{ab}$:

$(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}) - \sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$.

Полученное выражение является полным квадратом разности: $(\sqrt[3]{a})^2-2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+(\sqrt[3]{b})^2 = (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2$.

Теперь выполним деление:

$(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2 : (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2 = 1$.

Ответ: $1$.