Номер 456, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Упростить выражение (456 — 457).

456. 1) $\sqrt[3]{2ab} \cdot \sqrt[3]{4a^2b} \cdot \sqrt[3]{27b}$; 2) $\sqrt[4]{abc} \cdot \sqrt[4]{a^3b^2c} \cdot \sqrt[4]{b^5c^2}$.

1) Чтобы упростить данное выражение $\sqrt[3]{2ab} \cdot \sqrt[3]{4a^2b} \cdot \sqrt[3]{27b}$, воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени, которое гласит, что произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных выражений: $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$.
Применим это свойство, объединив все множители под одним знаком кубического корня:
$\sqrt[3]{2ab \cdot 4a^2b \cdot 27b}$
Теперь выполним умножение выражений под корнем. Для этого сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$\sqrt[3]{(2 \cdot 4 \cdot 27) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (b \cdot b \cdot b)}$
Вычисляем произведения в каждой группе:
Числовые коэффициенты: $2 \cdot 4 \cdot 27 = 8 \cdot 27 = 216$.
Переменная $a$: $a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$.
Переменная $b$: $b \cdot b \cdot b = b^{1+1+1} = b^3$.
Таким образом, подкоренное выражение равно $216a^3b^3$.
Получаем:
$\sqrt[3]{216a^3b^3}$
Теперь извлечем кубический корень из каждого множителя в отдельности:
$\sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^3}$
Так как $6^3 = 216$, то $\sqrt[3]{216} = 6$.
$\sqrt[3]{a^3} = a$ и $\sqrt[3]{b^3} = b$.
Перемножив результаты, получаем итоговое упрощенное выражение.
Ответ: $6ab$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{abc} \cdot \sqrt[4]{a^3b^2c} \cdot \sqrt[4]{b^5c^2}$ поступим аналогично первому пункту, используя свойство произведения корней четвертой степени.
Объединим все подкоренные выражения под одним знаком корня:
$\sqrt[4]{(abc) \cdot (a^3b^2c) \cdot (b^5c^2)}$
Перемножим множители под корнем, складывая степени переменных с одинаковыми основаниями:
$\sqrt[4]{(a \cdot a^3) \cdot (b \cdot b^2 \cdot b^5) \cdot (c \cdot c \cdot c^2)}$
Вычислим степени для каждой переменной:
$a^{1+3} = a^4$
$b^{1+2+5} = b^8$
$c^{1+1+2} = c^4$
Подставим полученные степени в выражение под корнем:
$\sqrt[4]{a^4b^8c^4}$
Теперь извлечем корень четвертой степени из каждого множителя. При извлечении корня четной степени из переменной в четной степени формально возникает модуль, однако в подобных задачах обычно подразумевается, что переменные неотрицательны (т.е. $a \ge 0, c \ge 0$).
$\sqrt[4]{a^4} = a$
$\sqrt[4]{b^8} = \sqrt[4]{(b^2)^4} = b^2$ (здесь модуль не нужен, так как $b^2$ всегда неотрицательно)
$\sqrt[4]{c^4} = c$
Перемножим полученные результаты.
Ответ: $ab^2c$