Номер 452, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

452. Упростить выражение:

1) $(\sqrt[3]{x})^6$;

2) $(\sqrt[3]{y^2})^3$;

3) $(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b})^6$;

4) $(\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{b^3})^{12}$;

5) $(\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}})^6$;

6) $(\sqrt[3]{\sqrt[4]{27a^3}})^4$.

1) $(\sqrt[3]{x})^6$
Для упрощения выражения воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и представим корень в виде степени с рациональным показателем $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$:
$(\sqrt[3]{x})^6 = (x^{\frac{1}{3}})^6 = x^{\frac{1}{3} \cdot 6} = x^{\frac{6}{3}} = x^2$.
Ответ: $x^2$.

2) $(\sqrt[3]{y^2})^3$
Возведение в куб и извлечение кубического корня являются взаимно обратными операциями, поэтому $(\sqrt[3]{A})^3 = A$.
В данном случае $A = y^2$, следовательно:
$(\sqrt[3]{y^2})^3 = y^2$.
Ответ: $y^2$.

3) $(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b})^6$
Используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$:
$(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b})^6 = (\sqrt{a})^6 \cdot (\sqrt[3]{b})^6$.
Теперь упростим каждый множитель, представив корни в виде степеней:
$(\sqrt{a})^6 = (a^{\frac{1}{2}})^6 = a^{\frac{1}{2} \cdot 6} = a^3$.
$(\sqrt[3]{b})^6 = (b^{\frac{1}{3}})^6 = b^{\frac{1}{3} \cdot 6} = b^2$.
Перемножим полученные результаты: $a^3 \cdot b^2 = a^3b^2$.
Ответ: $a^3b^2$.

4) $(\sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt[4]{b^3}})^{12}$
Сначала воспользуемся свойством $(\sqrt[n]{A})^m = \sqrt[n]{A^m}$, а затем $(A^k)^l=A^{kl}$:
$(\sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt[4]{b^3}})^{12} = ( (a^2 \cdot b^{\frac{3}{4}})^{\frac{1}{3}} )^{12} = (a^2 \cdot b^{\frac{3}{4}})^{\frac{12}{3}} = (a^2 \cdot b^{\frac{3}{4}})^4$.
Теперь раскроем скобки, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$:
$(a^2)^4 \cdot (b^{\frac{3}{4}})^4 = a^{2 \cdot 4} \cdot b^{\frac{3}{4} \cdot 4} = a^8 b^3$.
Ответ: $a^8b^3$.

5) $(\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}})^6$
При последовательном извлечении корней их показатели перемножаются: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{A}} = \sqrt[mn]{A}$.
$\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^2b} = \sqrt[6]{a^2b}$.
Тогда исходное выражение примет вид:
$(\sqrt[6]{a^2b})^6$.
Извлечение корня 6-й степени и возведение в 6-ю степень — взаимно обратные операции, поэтому:
$(\sqrt[6]{a^2b})^6 = a^2b$.
Ответ: $a^2b$.

6) $(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[4]{27a^3}}})^4$
Упростим вложенные корни, перемножив их показатели: $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$.
$\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[4]{27a^3}}} = \sqrt[24]{27a^3}$.
Теперь возведем полученное выражение в степень 4:
$(\sqrt[24]{27a^3})^4$.
Используем представление корня и степени в виде рациональных показателей:
$((27a^3)^{\frac{1}{24}})^4 = (27a^3)^{\frac{4}{24}} = (27a^3)^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{27a^3}$.
Заменим $27$ на $3^3$:
$\sqrt[6]{3^3 a^3} = \sqrt[6]{(3a)^3}$.
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 3:
$\sqrt[6/3]{(3a)^{3/3}} = \sqrt[2]{3a^1} = \sqrt{3a}$.
Ответ: $\sqrt{3a}$.