Страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (450–451).

450.

1) $(\sqrt[6]{7^3})^2$ ; 2) $(\sqrt[6]{9})^{-3}$ ; 3) $(\sqrt[10]{32})^2$ ; 4) $(\sqrt[8]{16})^{-4}$ .

1) $(\sqrt[6]{7^3})^2$

Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством степеней и корней, согласно которому $(\sqrt[n]{a^m})^k = a^{\frac{m \cdot k}{n}}$.

В нашем случае основание $a=7$, показатель корня $n=6$, показатель степени под корнем $m=3$ и показатель внешней степени $k=2$.

Применяя формулу, получаем:

$(\sqrt[6]{7^3})^2 = 7^{\frac{3 \cdot 2}{6}} = 7^{\frac{6}{6}} = 7^1 = 7$.

Другой способ — сначала представить корень как степень с дробным показателем $\sqrt[6]{7^3} = 7^{\frac{3}{6}} = 7^{\frac{1}{2}}$, а затем возвести в степень 2:

$(7^{\frac{1}{2}})^2 = 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7

2) $(\sqrt[6]{9})^{-3}$

Представим корень в виде степени с дробным показателем, используя определение $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$:

$\sqrt[6]{9} = 9^{\frac{1}{6}}$.

Теперь возведем полученное выражение в степень -3, используя свойство степеней $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$:

$(9^{\frac{1}{6}})^{-3} = 9^{\frac{1}{6} \cdot (-3)} = 9^{-\frac{3}{6}} = 9^{-\frac{1}{2}}$.

Далее используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$:

$9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$.

Поскольку $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$, окончательный результат:

$\frac{1}{3}$.

Также можно было сразу заметить, что $9 = 3^2$. Тогда:

$(\sqrt[6]{9})^{-3} = (\sqrt[6]{3^2})^{-3} = (3^{\frac{2}{6}})^{-3} = (3^{\frac{1}{3}})^{-3} = 3^{\frac{1}{3} \cdot (-3)} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

3) $(\sqrt[10]{32})^2$

Преобразуем выражение, используя свойство $(\sqrt[n]{a})^k = a^{\frac{k}{n}}$:

$(\sqrt[10]{32})^2 = 32^{\frac{2}{10}} = 32^{\frac{1}{5}}$.

Заметим, что число 32 является пятой степенью числа 2, то есть $32 = 2^5$.

Подставим это значение в выражение:

$32^{\frac{1}{5}} = (2^5)^{\frac{1}{5}}$.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$(2^5)^{\frac{1}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{1}{5}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2

4) $(\sqrt[8]{16})^{-4}$

Воспользуемся формулой $(\sqrt[n]{a})^k = a^{\frac{k}{n}}$ для преобразования выражения:

$(\sqrt[8]{16})^{-4} = 16^{\frac{-4}{8}} = 16^{-\frac{1}{2}}$.

Применим свойство степени с отрицательным показателем $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$:

$16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{2}}}$.

Знаменатель $16^{\frac{1}{2}}$ равен квадратному корню из 16, то есть $\sqrt{16} = 4$.

Таким образом, итоговый результат:

$\frac{1}{4}$.

В качестве альтернативного решения можно было представить 16 как $2^4$:

$(\sqrt[8]{16})^{-4} = (\sqrt[8]{2^4})^{-4} = (2^{\frac{4}{8}})^{-4} = (2^{\frac{1}{2}})^{-4} = 2^{\frac{1}{2} \cdot (-4)} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

451. 1) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{729}}$;

2) $\sqrt[5]{\sqrt{1024}}$;

3) $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3^7}$;

4) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} \cdot \sqrt[6]{5^5}$.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойством корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. В нашем случае квадратный корень имеет показатель $m=2$, а кубический корень — $n=3$.

$\sqrt{\sqrt[3]{729}} = \sqrt[2 \cdot 3]{729} = \sqrt[6]{729}$

Теперь необходимо найти число, которое при возведении в 6-ю степень даст 729. Можно заметить, что $729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.

Таким образом, $\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.

Также можно было сначала вычислить внутренний корень: $\sqrt[3]{729} = 9$. Тогда выражение принимает вид $\sqrt{9}$, что равно 3.

Ответ: 3

2) Аналогично первому примеру, используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. Здесь $m=5$ и $n=2$.

$\sqrt[5]{\sqrt{1024}} = \sqrt[5 \cdot 2]{1024} = \sqrt[10]{1024}$

Найдем число, которое в 10-й степени равно 1024. Это известная степень двойки: $2^{10} = 1024$.

Следовательно, $\sqrt[10]{1024} = 2$.

Альтернативно, можно сначала вычислить $\sqrt{1024} = 32$. Тогда выражение становится $\sqrt[5]{32}$. Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.

Ответ: 2

3) В этом примере мы будем использовать свойства корней: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ и $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

Сначала упростим первый множитель: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} = \sqrt[3 \cdot 3]{9} = \sqrt[9]{9}$.

Представим число 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$. Тогда первый множитель равен $\sqrt[9]{3^2}$.

Теперь перемножим корни с одинаковым показателем:

$\sqrt[9]{3^2} \cdot \sqrt[9]{3^7} = \sqrt[9]{3^2 \cdot 3^7}$

По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$\sqrt[9]{3^{2+7}} = \sqrt[9]{3^9}$

По определению корня n-й степени, $\sqrt[n]{a^n} = a$. Значит, $\sqrt[9]{3^9} = 3$.

Ответ: 3

4) Для решения этого примера воспользуемся теми же свойствами, что и в предыдущем задании, а также свойством приведения корней к общему показателю.

Упростим первый множитель: $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} = \sqrt[4 \cdot 3]{25} = \sqrt[12]{25}$.

Представим 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$. Тогда первый множитель равен $\sqrt[12]{5^2}$.

Теперь у нас есть выражение $\sqrt[12]{5^2} \cdot \sqrt[6]{5^5}$. Чтобы перемножить корни, приведем их к общему показателю 12.

Преобразуем второй множитель: $\sqrt[6]{5^5} = \sqrt[6 \cdot 2]{5^{5 \cdot 2}} = \sqrt[12]{5^{10}}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$\sqrt[12]{5^2} \cdot \sqrt[12]{5^{10}} = \sqrt[12]{5^2 \cdot 5^{10}} = \sqrt[12]{5^{2+10}} = \sqrt[12]{5^{12}}$

В итоге получаем: $\sqrt[12]{5^{12}} = 5$.

Ответ: 5

452. Упростить выражение:

1) $(\sqrt[3]{x})^6$;

2) $(\sqrt[3]{y^2})^3$;

3) $(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b})^6$;

4) $(\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{b^3})^{12}$;

5) $(\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}})^6$;

6) $(\sqrt[3]{\sqrt[4]{27a^3}})^4$.

1) $(\sqrt[3]{x})^6$
Для упрощения выражения воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и представим корень в виде степени с рациональным показателем $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$:
$(\sqrt[3]{x})^6 = (x^{\frac{1}{3}})^6 = x^{\frac{1}{3} \cdot 6} = x^{\frac{6}{3}} = x^2$.
Ответ: $x^2$.

2) $(\sqrt[3]{y^2})^3$
Возведение в куб и извлечение кубического корня являются взаимно обратными операциями, поэтому $(\sqrt[3]{A})^3 = A$.
В данном случае $A = y^2$, следовательно:
$(\sqrt[3]{y^2})^3 = y^2$.
Ответ: $y^2$.

3) $(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b})^6$
Используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$:
$(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b})^6 = (\sqrt{a})^6 \cdot (\sqrt[3]{b})^6$.
Теперь упростим каждый множитель, представив корни в виде степеней:
$(\sqrt{a})^6 = (a^{\frac{1}{2}})^6 = a^{\frac{1}{2} \cdot 6} = a^3$.
$(\sqrt[3]{b})^6 = (b^{\frac{1}{3}})^6 = b^{\frac{1}{3} \cdot 6} = b^2$.
Перемножим полученные результаты: $a^3 \cdot b^2 = a^3b^2$.
Ответ: $a^3b^2$.

4) $(\sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt[4]{b^3}})^{12}$
Сначала воспользуемся свойством $(\sqrt[n]{A})^m = \sqrt[n]{A^m}$, а затем $(A^k)^l=A^{kl}$:
$(\sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt[4]{b^3}})^{12} = ( (a^2 \cdot b^{\frac{3}{4}})^{\frac{1}{3}} )^{12} = (a^2 \cdot b^{\frac{3}{4}})^{\frac{12}{3}} = (a^2 \cdot b^{\frac{3}{4}})^4$.
Теперь раскроем скобки, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$:
$(a^2)^4 \cdot (b^{\frac{3}{4}})^4 = a^{2 \cdot 4} \cdot b^{\frac{3}{4} \cdot 4} = a^8 b^3$.
Ответ: $a^8b^3$.

5) $(\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}})^6$
При последовательном извлечении корней их показатели перемножаются: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{A}} = \sqrt[mn]{A}$.
$\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^2b} = \sqrt[6]{a^2b}$.
Тогда исходное выражение примет вид:
$(\sqrt[6]{a^2b})^6$.
Извлечение корня 6-й степени и возведение в 6-ю степень — взаимно обратные операции, поэтому:
$(\sqrt[6]{a^2b})^6 = a^2b$.
Ответ: $a^2b$.

6) $(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[4]{27a^3}}})^4$
Упростим вложенные корни, перемножив их показатели: $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$.
$\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[4]{27a^3}}} = \sqrt[24]{27a^3}$.
Теперь возведем полученное выражение в степень 4:
$(\sqrt[24]{27a^3})^4$.
Используем представление корня и степени в виде рациональных показателей:
$((27a^3)^{\frac{1}{24}})^4 = (27a^3)^{\frac{4}{24}} = (27a^3)^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{27a^3}$.
Заменим $27$ на $3^3$:
$\sqrt[6]{3^3 a^3} = \sqrt[6]{(3a)^3}$.
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 3:
$\sqrt[6/3]{(3a)^{3/3}} = \sqrt[2]{3a^1} = \sqrt{3a}$.
Ответ: $\sqrt{3a}$.

453. При каких значениях x имеет смысл выражение

1) $\sqrt[3]{2x - 3}$;

2) $\sqrt[6]{x + 3}$;

3) $\sqrt[6]{2x^2 - x - 1}$;

4) $\sqrt[4]{\frac{2 - 3x}{2x - 4}}$?

1) Выражение $\sqrt[3]{2x - 3}$ представляет собой корень нечетной степени (кубический корень). Подкоренное выражение для корня нечетной степени может быть любым действительным числом (положительным, отрицательным или нулем). Следовательно, выражение $2x - 3$ определено для любых значений $x$. Никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается. Таким образом, выражение имеет смысл при всех действительных значениях $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt[6]{x + 3}$ представляет собой корень четной степени. Для того чтобы такое выражение имело смысл в области действительных чисел, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо выполнить условие:
$x + 3 \ge 0$
Решая это линейное неравенство, получаем:
$x \ge -3$
Следовательно, выражение имеет смысл для всех $x$, больших или равных -3.
Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

3) Выражение $\sqrt[6]{2x^2 - x - 1}$ также является корнем четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$2x^2 - x - 1 \ge 0$
Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$, используя формулу для корней квадратного уравнения.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Корни: $x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Графиком функции $y = 2x^2 - x - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции неотрицательны на участках, где $x$ меньше или равен меньшему корню, и где $x$ больше или равен большему корню.
Таким образом, решение неравенства: $x \le -\frac{1}{2}$ или $x \ge 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [1; +\infty)$.

4) В выражении $\sqrt[4]{\frac{2 - 3x}{2x - 4}}$ мы имеем корень четной степени от дроби. Здесь должны выполняться два условия:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{2 - 3x}{2x - 4} \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2x - 4 \neq 0$.
Из второго условия получаем $2x \neq 4$, то есть $x \neq 2$.
Для решения неравенства $\frac{2 - 3x}{2x - 4} \ge 0$ используем метод интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $2 - 3x = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
Нуль знаменателя: $2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки дроби в полученных интервалах:
При $x < \frac{2}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{2-0}{0-4} < 0$.
При $\frac{2}{3} < x < 2$ (например, $x=1$): $\frac{2-3}{2-4} = \frac{-1}{-2} > 0$.
При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{2-9}{6-4} < 0$.
Неравенство $\ge 0$ выполняется, когда дробь положительна или равна нулю (то есть когда числитель равен нулю). Это соответствует интервалу, где знак "+", включая точку $x=\frac{2}{3}$.
Следовательно, решение: $\frac{2}{3} \le x < 2$.
Ответ: $x \in [\frac{2}{3}; 2)$.

Вычислить (454–455).

454.

1) $\sqrt{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt{9-\sqrt{17}};$

2) $(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})^2;$

3) $(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}})^2.$

1) Для вычисления выражения $\sqrt{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt{9-\sqrt{17}}$ воспользуемся свойством произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.
$\sqrt{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt{9-\sqrt{17}} = \sqrt{(9+\sqrt{17})(9-\sqrt{17})}$.
Выражение в скобках представляет собой формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=9$ и $b=\sqrt{17}$.
$\sqrt{9^2 - (\sqrt{17})^2} = \sqrt{81-17} = \sqrt{64} = 8$.
Ответ: 8

2) Для вычисления выражения $(\sqrt{3+\sqrt{5}} - \sqrt{3-\sqrt{5}})^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{3+\sqrt{5}}$ и $b = \sqrt{3-\sqrt{5}}$.
Тогда $a^2 = (\sqrt{3+\sqrt{5}})^2 = 3+\sqrt{5}$.
$b^2 = (\sqrt{3-\sqrt{5}})^2 = 3-\sqrt{5}$.
$2ab = 2 \cdot \sqrt{3+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{3-\sqrt{5}} = 2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$.
Применяя формулу разности квадратов под корнем, получаем:
$2\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{9-5} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.
Теперь подставим все части в исходную формулу:
$a^2 - 2ab + b^2 = (3+\sqrt{5}) - 4 + (3-\sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5} - 4 + 3 - \sqrt{5} = (3+3-4) + (\sqrt{5}-\sqrt{5}) = 2$.
Ответ: 2

3) Для вычисления выражения $(\sqrt{5+\sqrt{21}} + \sqrt{5-\sqrt{21}})^2$ используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{5+\sqrt{21}}$ и $b = \sqrt{5-\sqrt{21}}$.
Тогда $a^2 = (\sqrt{5+\sqrt{21}})^2 = 5+\sqrt{21}$.
$b^2 = (\sqrt{5-\sqrt{21}})^2 = 5-\sqrt{21}$.
$2ab = 2 \cdot \sqrt{5+\sqrt{21}} \cdot \sqrt{5-\sqrt{21}} = 2\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})}$.
Применяя формулу разности квадратов под корнем, получаем:
$2\sqrt{5^2 - (\sqrt{21})^2} = 2\sqrt{25-21} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.
Теперь подставим все части в исходную формулу:
$a^2 + 2ab + b^2 = (5+\sqrt{21}) + 4 + (5-\sqrt{21}) = 5 + \sqrt{21} + 4 + 5 - \sqrt{21} = (5+4+5) + (\sqrt{21}-\sqrt{21}) = 14$.
Ответ: 14

455. 1) $\frac{\sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}}$;

2) $\frac{\sqrt[4]{54} \cdot \sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}}$;

3) $\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt[6]{27^2} - \sqrt{\sqrt[3]{64}}$;

4) $\sqrt{3\frac{3}{8}} + \sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4\frac{1}{2}} - \sqrt{256}$;

5) $\sqrt[4]{17 - \sqrt{33}} \cdot \sqrt[4]{17 + \sqrt{33}}$.

1) Исходное выражение: $\frac{\sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}}$.
Используем свойство корней $\frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{c}} = \sqrt[n]{\frac{a \cdot b}{c}}$:
$\sqrt[3]{\frac{49 \cdot 112}{250}}$
Разложим числа под корнем на множители:
$49 = 7^2$
$112 = 16 \cdot 7 = 2^4 \cdot 7$
$250 = 25 \cdot 10 = 5^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 5^3$
Подставим разложения в выражение:
$\sqrt[3]{\frac{7^2 \cdot (2^4 \cdot 7)}{2 \cdot 5^3}} = \sqrt[3]{\frac{7^3 \cdot 2^4}{2 \cdot 5^3}}$
Сократим дробь под корнем:
$\sqrt[3]{\frac{7^3 \cdot 2^3}{5^3}} = \sqrt[3]{(\frac{7 \cdot 2}{5})^3}$
Извлечем кубический корень:
$\frac{7 \cdot 2}{5} = \frac{14}{5}$
Ответ: $\frac{14}{5}$

2) Исходное выражение: $\frac{\sqrt[4]{54} \cdot \sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}}$.
Применим свойство $\frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{c}} = \sqrt[n]{\frac{a \cdot b}{c}}$:
$\sqrt[4]{\frac{54 \cdot 120}{5}}$
Сократим дробь:
$\sqrt[4]{54 \cdot 24}$
Разложим числа на множители:
$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$
$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
Подставим в выражение:
$\sqrt[4]{(2 \cdot 3^3) \cdot (2^3 \cdot 3)} = \sqrt[4]{2^1 \cdot 2^3 \cdot 3^3 \cdot 3^1} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4}$
Используем свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$\sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3^4} = 2 \cdot 3 = 6$
Ответ: 6

3) Исходное выражение: $\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt[6]{27^2} - \sqrt{\sqrt[3]{64}}$.
Решим по частям.
Первый член: $\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} = \sqrt[4]{\frac{32}{2}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Второй член: $\sqrt[6]{27^2} = \sqrt[6]{(3^3)^2} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.
Третий член: $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$. Можно вычислить последовательно: $\sqrt[3]{64} = 4$, затем $\sqrt{4} = 2$. Или использовать свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$: $\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2 \cdot 3]{64} = \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$.
Теперь сложим и вычтем полученные значения:
$2 + 3 - 2 = 3$
Ответ: 3

4) Исходное выражение: $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}} + \sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4\frac{1}{2}} - \sqrt{\sqrt{256}}$.
Решим по частям, соблюдая порядок действий.
Сначала вычислим произведение корней: $\sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4\frac{1}{2}}$.
Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.
$\sqrt[4]{18 \cdot \frac{9}{2}} = \sqrt[4]{9 \cdot 9} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Теперь вычислим остальные члены выражения.
Первый член: $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$. Преобразуем смешанную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{27}{8}$.
$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$.
Третий член: $\sqrt{\sqrt{256}}$. Вычислим внутренний корень: $\sqrt{256}=16$. Тогда $\sqrt{16} = 4$.
Теперь подставим все значения в исходное выражение:
$\frac{3}{2} + 3 - 4 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

5) Исходное выражение: $\sqrt[4]{17 - \sqrt{33}} \cdot \sqrt[4]{17 + \sqrt{33}}$.
Используем свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:
$\sqrt[4]{(17 - \sqrt{33}) \cdot (17 + \sqrt{33})}$
Выражение под корнем является разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=17$ и $b=\sqrt{33}$.
$(17 - \sqrt{33})(17 + \sqrt{33}) = 17^2 - (\sqrt{33})^2 = 289 - 33 = 256$.
Теперь нужно вычислить $\sqrt[4]{256}$.
Так как $256 = 4^4$, то $\sqrt[4]{256} = 4$.
Ответ: 4

Упростить выражение (456 — 457).

456. 1) $\sqrt[3]{2ab} \cdot \sqrt[3]{4a^2b} \cdot \sqrt[3]{27b}$; 2) $\sqrt[4]{abc} \cdot \sqrt[4]{a^3b^2c} \cdot \sqrt[4]{b^5c^2}$.

1) Чтобы упростить данное выражение $\sqrt[3]{2ab} \cdot \sqrt[3]{4a^2b} \cdot \sqrt[3]{27b}$, воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени, которое гласит, что произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных выражений: $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$.
Применим это свойство, объединив все множители под одним знаком кубического корня:
$\sqrt[3]{2ab \cdot 4a^2b \cdot 27b}$
Теперь выполним умножение выражений под корнем. Для этого сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$\sqrt[3]{(2 \cdot 4 \cdot 27) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (b \cdot b \cdot b)}$
Вычисляем произведения в каждой группе:
Числовые коэффициенты: $2 \cdot 4 \cdot 27 = 8 \cdot 27 = 216$.
Переменная $a$: $a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$.
Переменная $b$: $b \cdot b \cdot b = b^{1+1+1} = b^3$.
Таким образом, подкоренное выражение равно $216a^3b^3$.
Получаем:
$\sqrt[3]{216a^3b^3}$
Теперь извлечем кубический корень из каждого множителя в отдельности:
$\sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^3}$
Так как $6^3 = 216$, то $\sqrt[3]{216} = 6$.
$\sqrt[3]{a^3} = a$ и $\sqrt[3]{b^3} = b$.
Перемножив результаты, получаем итоговое упрощенное выражение.
Ответ: $6ab$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{abc} \cdot \sqrt[4]{a^3b^2c} \cdot \sqrt[4]{b^5c^2}$ поступим аналогично первому пункту, используя свойство произведения корней четвертой степени.
Объединим все подкоренные выражения под одним знаком корня:
$\sqrt[4]{(abc) \cdot (a^3b^2c) \cdot (b^5c^2)}$
Перемножим множители под корнем, складывая степени переменных с одинаковыми основаниями:
$\sqrt[4]{(a \cdot a^3) \cdot (b \cdot b^2 \cdot b^5) \cdot (c \cdot c \cdot c^2)}$
Вычислим степени для каждой переменной:
$a^{1+3} = a^4$
$b^{1+2+5} = b^8$
$c^{1+1+2} = c^4$
Подставим полученные степени в выражение под корнем:
$\sqrt[4]{a^4b^8c^4}$
Теперь извлечем корень четвертой степени из каждого множителя. При извлечении корня четной степени из переменной в четной степени формально возникает модуль, однако в подобных задачах обычно подразумевается, что переменные неотрицательны (т.е. $a \ge 0, c \ge 0$).
$\sqrt[4]{a^4} = a$
$\sqrt[4]{b^8} = \sqrt[4]{(b^2)^4} = b^2$ (здесь модуль не нужен, так как $b^2$ всегда неотрицательно)
$\sqrt[4]{c^4} = c$
Перемножим полученные результаты.
Ответ: $ab^2c$

457. 1) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}} + \left(\sqrt[3]{a^4}\right)^3$;

2) $\left(\sqrt[3]{x^2}\right)^3 + 2\left(\sqrt[4]{x}\right)^8$;

3) $\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^{12}}} - \left(\sqrt[5]{xy^2}\right)^5$;

4) $\left(\left(\sqrt[5]{a^5\sqrt{a}}\right)^5 - \sqrt[5]{a}\right) : \sqrt[10]{a^2}$.

1) Для решения выражения $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}} + (\sqrt{\sqrt[3]{a^4}})^3$ упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}}$. Используя свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[nm]{b}$, получаем: $\sqrt[3 \cdot 3]{a^{18}} = \sqrt[9]{a^{18}}$.
Далее, используя свойство $\sqrt[n]{b^m} = b^{m/n}$: $a^{18/9} = a^2$.
Второе слагаемое: $(\sqrt{\sqrt[3]{a^4}})^3$. Сначала упростим выражение в скобках: $\sqrt{\sqrt[3]{a^4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^4} = \sqrt[6]{a^4}$.
Теперь возведем в степень, используя свойство $(\sqrt[n]{b})^m = \sqrt[n]{b^m}$: $(\sqrt[6]{a^4})^3 = \sqrt[6]{(a^4)^3} = \sqrt[6]{a^{12}} = a^{12/6} = a^2$.
Сложим полученные результаты: $a^2 + a^2 = 2a^2$.
Ответ: $2a^2$.

2) Для решения выражения $(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}})^3 + 2(\sqrt[4]{\sqrt{x}})^8$ упростим каждое слагаемое. Предполагаем, что $x \ge 0$, чтобы все корни были определены.
Первое слагаемое: $(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}})^3$. Упростим корень: $\sqrt{\sqrt[3]{x^2}} = \sqrt[2 \cdot 3]{x^2} = \sqrt[6]{x^2}$.
Возведем в степень: $(\sqrt[6]{x^2})^3 = \sqrt[6]{(x^2)^3} = \sqrt[6]{x^6}$. Так как по предположению $x \ge 0$, то $\sqrt[6]{x^6} = x$.
Второе слагаемое: $2(\sqrt[4]{\sqrt{x}})^8$. Упростим корень: $\sqrt[4]{\sqrt{x}} = \sqrt[4 \cdot 2]{x} = \sqrt[8]{x}$.
Возведем в степень: $(\sqrt[8]{x})^8 = x$.
Таким образом, второе слагаемое равно $2x$.
Сложим полученные результаты: $x + 2x = 3x$.
Ответ: $3x$.

3) Для решения выражения $\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^{12}}} - (\sqrt[5]{xy^2})^5$ упростим уменьшаемое и вычитаемое. Предполагаем, что переменные, стоящие под знаком корня четной степени, неотрицательны, то есть $x \ge 0$.
Уменьшаемое: $\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^{12}}}$. Используя свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[nm]{b}$: $\sqrt[3 \cdot 2]{x^6y^{12}} = \sqrt[6]{x^6y^{12}} = \sqrt[6]{x^6(y^2)^6} = \sqrt[6]{(xy^2)^6}$.
Так как $x \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то $xy^2 \ge 0$, поэтому $\sqrt[6]{(xy^2)^6} = xy^2$.
Вычитаемое: $(\sqrt[5]{xy^2})^5$. Используя свойство $(\sqrt[n]{b})^n = b$: $(\sqrt[5]{xy^2})^5 = xy^2$.
Выполним вычитание: $xy^2 - xy^2 = 0$.
Ответ: $0$.

4) Для решения выражения $((\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}})^5 - \sqrt[5]{a}) : \sqrt[10]{a^2}$ сначала упростим выражение в скобках (делимое), а затем делитель. Предполагаем, что $a \ge 0$.
Упростим выражение в скобках: $(\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}})^5 - \sqrt[5]{a}$.
Используя свойство $(\sqrt[n]{b})^n = b$, первая часть выражения в скобках становится: $(\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}})^5 = a\sqrt[5]{a}$.
Теперь выражение в скобках выглядит так: $a\sqrt[5]{a} - \sqrt[5]{a}$. Вынесем общий множитель $\sqrt[5]{a}$ за скобки: $(a-1)\sqrt[5]{a}$.
Теперь упростим делитель: $\sqrt[10]{a^2}$. Используя свойство $\sqrt[nk]{b^{mk}} = \sqrt[n]{b^m}$ (или переходя к степеням с рациональным показателем $a^{2/10} = a^{1/5}$), получаем: $\sqrt[10]{a^2} = \sqrt[5]{a}$.
Выполним деление, предполагая $a \ne 0$: $\frac{(a-1)\sqrt[5]{a}}{\sqrt[5]{a}} = a-1$.
Ответ: $a-1$.

458. Вычислить:

1) $\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}$

2) $(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})$

1) Для решения этого примера представим все корни в виде степеней с рациональными показателями, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Сначала заметим, что $343$ — это $7$ в третьей степени, то есть $343 = 7^3$.
Теперь перепишем исходное выражение:
$\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}} = \frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[4]{7^3}}{7^{\frac{1}{12}}} = \frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}}{7^{\frac{1}{12}}}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$).
Вычислим показатель степени в числителе:
$\frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4}{12} + \frac{9}{12} = \frac{13}{12}$
Таким образом, числитель равен $7^{\frac{13}{12}}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{7^{\frac{13}{12}}}{7^{\frac{1}{12}}} = 7^{\frac{13}{12} - \frac{1}{12}} = 7^{\frac{12}{12}} = 7^1 = 7$
Ответ: 7

2) Это выражение можно упростить, используя формулу сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Давайте определим $a$ и $b$ из второй скобки $(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})$. Пусть $a = \sqrt[3]{3}$ и $b = \sqrt[3]{2}$.
Теперь проверим, соответствует ли первая скобка $(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})$ выражению $(a^2 + ab + b^2)$.
Вычислим $a^2$, $ab$ и $b^2$:
$a^2 = (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$
$ab = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{3 \cdot 2} = \sqrt[3]{6}$
$b^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$
Как видим, первая скобка в точности равна $(a^2 + ab + b^2)$.
Следовательно, мы можем применить формулу разности кубов:
$(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) = (\sqrt[3]{3})^3 - (\sqrt[3]{2})^3 = 3 - 2 = 1$
Ответ: 1

459. Освободиться от иррациональности в знаменателе:

1) $\frac{5}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$;

2) $\frac{4}{\sqrt{5}+3}$;

3) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$;

4) $\frac{11}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{5}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} $, сначала нужно упростить сам знаменатель, который представляет собой сложный (вложенный) радикал. Для этого преобразуем подкоренное выражение так, чтобы можно было выделить полный квадрат. Умножим и разделим выражение под корнем на 2:
$ \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2(2-\sqrt{3})}{2}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} $.
Теперь рассмотрим выражение $ \sqrt{4-2\sqrt{3}} $. Его можно представить в виде квадрата разности, используя формулу $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $. Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что $ a^2+b^2=4 $ и $ 2ab=2\sqrt{3} $ (или $ ab=\sqrt{3} $). Подбором находим, что $ a=\sqrt{3} $ и $ b=1 $.
Таким образом, $ 4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot1 + 1^2 = (\sqrt{3}-1)^2 $.
Значит, $ \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3}-1 $.
Подставим это обратно в выражение для знаменателя:
$ \sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} $.
Теперь исходная дробь имеет вид:
$ \frac{5}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} $.
Чтобы избавиться от иррациональности в новом знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ \sqrt{3}+1 $:
$ \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2} $.
Ответ: $ \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2} $.

2) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{4}{\sqrt{5}+3} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением для $ \sqrt{5}+3 $ является $ \sqrt{5}-3 $. При умножении этих выражений используется формула разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $.
$ \frac{4}{\sqrt{5}+3} = \frac{4(\sqrt{5}-3)}{(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)} = \frac{4(\sqrt{5}-3)}{(\sqrt{5})^2 - 3^2} = \frac{4(\sqrt{5}-3)}{5-9} = \frac{4(\sqrt{5}-3)}{-4} $.
Сокращаем дробь на 4:
$ -(\sqrt{5}-3) = 3-\sqrt{5} $.
Ответ: $ 3-\sqrt{5} $.

3) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} $, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, которым является $ \sqrt{5}+\sqrt{3} $. Воспользуемся формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $.
$ \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} $.

4) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{11}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ \sqrt{7}+\sqrt{5} $. Применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $.
$ \frac{11}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{11(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{11(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{11(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \frac{11(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2} $.
Ответ: $ \frac{11(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2} $.

460. Упростить:

1) $\sqrt[3]{(x-2)^3}$ при: а) $x \ge 2$; б) $x < 2$;

2) $\sqrt{(3-x)^6}$ при: а) $x \le 3$; б) $x > 3$;

3) $\sqrt[4]{(x+6)^4} + \sqrt{(x-3)^2}$, если $-1 < x < 2$;

4) $\sqrt[6]{(2x+1)^6} - \sqrt[4]{(4+x)^4}$, если $-3 < x < -1$.

1) Упростим выражение $\sqrt[3]{(x-2)^3}$.

По определению корня нечетной степени, для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$. В данном случае показатель корня (3) является нечетным числом, поэтому $\sqrt[3]{(x-2)^3} = x-2$ независимо от знака выражения $(x-2)$.

а) при x ≥ 2:
Выражение равно $x-2$.
Ответ: $x-2$.

б) при x < 2:
Выражение также равно $x-2$.
Ответ: $x-2$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(3-x)^6}$.

По определению корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Выражение можно представить в виде $\sqrt{((3-x)^3)^2}$. Применяя свойство корня четной степени, получаем: $\sqrt{((3-x)^3)^2} = |(3-x)^3|$. Знак выражения $(3-x)^3$ совпадает со знаком выражения $(3-x)$, поэтому рассмотрим два случая.

а) при x ≤ 3:
Если $x \le 3$, то $3-x \ge 0$. Следовательно, $(3-x)^3 \ge 0$. Модуль неотрицательного числа равен самому числу: $|(3-x)^3| = (3-x)^3$.
Ответ: $(3-x)^3$.

б) при x > 3:
Если $x > 3$, то $3-x < 0$. Следовательно, $(3-x)^3 < 0$. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|(3-x)^3| = -(3-x)^3 = (x-3)^3$.
Ответ: $(x-3)^3$.

3) Упростим выражение $\sqrt[4]{(x+6)^4} + \sqrt{(x-3)^2}$, если $-1 < x < 2$.

Используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$ для обоих слагаемых, так как показатели корней (4 и 2) четные:
$\sqrt[4]{(x+6)^4} = |x+6|$
$\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$
Исходное выражение равно $|x+6| + |x-3|$.

Раскроем модули с учетом условия $-1 < x < 2$:
1. Для $|x+6|$: так как $-1 < x < 2$, прибавив 6 ко всем частям неравенства, получим $5 < x+6 < 8$. Выражение $x+6$ положительно, значит $|x+6| = x+6$.
2. Для $|x-3|$: так как $-1 < x < 2$, отняв 3 от всех частей неравенства, получим $-4 < x-3 < -1$. Выражение $x-3$ отрицательно, значит $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.
Подставляем полученные выражения и упрощаем: $(x+6) + (3-x) = x+6+3-x = 9$.
Ответ: $9$.

4) Упростим выражение $\sqrt[6]{(2x+1)^6} - \sqrt[4]{(4+x)^4}$, если $-3 < x < -1$.

Используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$ для обоих членов выражения, так как показатели корней (6 и 4) четные:
$\sqrt[6]{(2x+1)^6} = |2x+1|$
$\sqrt[4]{(4+x)^4} = |4+x|$
Исходное выражение равно $|2x+1| - |4+x|$.

Раскроем модули с учетом условия $-3 < x < -1$:
1. Для $|2x+1|$: умножим неравенство на 2, получим $-6 < 2x < -2$. Прибавим 1 ко всем частям: $-5 < 2x+1 < -1$. Выражение $2x+1$ отрицательно, значит $|2x+1| = -(2x+1) = -2x-1$.
2. Для $|4+x|$: прибавим 4 ко всем частям неравенства: $1 < 4+x < 3$. Выражение $4+x$ положительно, значит $|4+x| = 4+x$.
Подставляем полученные выражения и упрощаем: $(-2x-1) - (4+x) = -2x-1-4-x = -3x-5$.
Ответ: $-3x-5$.