Номер 451, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

451. 1) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{729}}$;

2) $\sqrt[5]{\sqrt{1024}}$;

3) $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3^7}$;

4) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} \cdot \sqrt[6]{5^5}$.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойством корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. В нашем случае квадратный корень имеет показатель $m=2$, а кубический корень — $n=3$.

$\sqrt{\sqrt[3]{729}} = \sqrt[2 \cdot 3]{729} = \sqrt[6]{729}$

Теперь необходимо найти число, которое при возведении в 6-ю степень даст 729. Можно заметить, что $729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.

Таким образом, $\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.

Также можно было сначала вычислить внутренний корень: $\sqrt[3]{729} = 9$. Тогда выражение принимает вид $\sqrt{9}$, что равно 3.

Ответ: 3

2) Аналогично первому примеру, используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. Здесь $m=5$ и $n=2$.

$\sqrt[5]{\sqrt{1024}} = \sqrt[5 \cdot 2]{1024} = \sqrt[10]{1024}$

Найдем число, которое в 10-й степени равно 1024. Это известная степень двойки: $2^{10} = 1024$.

Следовательно, $\sqrt[10]{1024} = 2$.

Альтернативно, можно сначала вычислить $\sqrt{1024} = 32$. Тогда выражение становится $\sqrt[5]{32}$. Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.

Ответ: 2

3) В этом примере мы будем использовать свойства корней: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ и $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

Сначала упростим первый множитель: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}} = \sqrt[3 \cdot 3]{9} = \sqrt[9]{9}$.

Представим число 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$. Тогда первый множитель равен $\sqrt[9]{3^2}$.

Теперь перемножим корни с одинаковым показателем:

$\sqrt[9]{3^2} \cdot \sqrt[9]{3^7} = \sqrt[9]{3^2 \cdot 3^7}$

По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$\sqrt[9]{3^{2+7}} = \sqrt[9]{3^9}$

По определению корня n-й степени, $\sqrt[n]{a^n} = a$. Значит, $\sqrt[9]{3^9} = 3$.

Ответ: 3

4) Для решения этого примера воспользуемся теми же свойствами, что и в предыдущем задании, а также свойством приведения корней к общему показателю.

Упростим первый множитель: $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} = \sqrt[4 \cdot 3]{25} = \sqrt[12]{25}$.

Представим 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$. Тогда первый множитель равен $\sqrt[12]{5^2}$.

Теперь у нас есть выражение $\sqrt[12]{5^2} \cdot \sqrt[6]{5^5}$. Чтобы перемножить корни, приведем их к общему показателю 12.

Преобразуем второй множитель: $\sqrt[6]{5^5} = \sqrt[6 \cdot 2]{5^{5 \cdot 2}} = \sqrt[12]{5^{10}}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$\sqrt[12]{5^2} \cdot \sqrt[12]{5^{10}} = \sqrt[12]{5^2 \cdot 5^{10}} = \sqrt[12]{5^{2+10}} = \sqrt[12]{5^{12}}$

В итоге получаем: $\sqrt[12]{5^{12}} = 5$.

Ответ: 5