Номер 470, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

470. 1) $2^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{8}{5}}$;

2) $5^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{5}{8}}$;

3) $4^{\frac{5}{6}} : 4^{\frac{1}{3}}$;

4) $9^{\frac{1}{3}} : 9^{\frac{5}{6}}$;

5) $(8^{\frac{1}{15}})^{-5}$.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, т.е. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применяем это правило к нашему выражению:

$2^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{8}{5}} = 2^{\frac{2}{5} + \frac{8}{5}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$.

Ответ: 4

2) Аналогично первому примеру, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Складываем показатели степеней:

$5^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{5}{8}} = 5^{\frac{3}{8} + \frac{5}{8}} = 5^{\frac{8}{8}} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5

3) Здесь применяется свойство деления степеней с одинаковым основанием: при делении показатели вычитаются, т.е. $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Прежде чем вычитать, приведем дроби в показателях к общему знаменателю, который равен 6: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$.

Теперь выполним вычисление:

$4^{\frac{5}{6}} : 4^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6}} = 4^{\frac{3}{6}} = 4^{\frac{1}{2}}$.

Используя определение степени с дробным показателем $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$, получаем: $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2

4) Используем то же свойство деления степеней, что и в предыдущем примере: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Приведем дроби в показателях к общему знаменателю 6: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$.

Выполняем вычитание показателей:

$9^{\frac{1}{3}} : 9^{\frac{5}{6}} = 9^{\frac{2}{6} - \frac{5}{6}} = 9^{-\frac{3}{6}} = 9^{-\frac{1}{2}}$.

Далее воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и определением степени с дробным показателем $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$:

$9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

5) В этом случае применяется свойство возведения степени в степень: показатели перемножаются, т.е. $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Перемножаем показатели:

$(8^{\frac{1}{15}})^{-5} = 8^{\frac{1}{15} \cdot (-5)} = 8^{-\frac{5}{15}} = 8^{-\frac{1}{3}}$.

Используя свойства степени с отрицательным и дробным показателями ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$), получаем конечный результат:

$8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$