Номер 537, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

537. Вычислить:

1) $(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{28} + \sqrt[3]{16});$

2) $(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}).$

1) $(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{28} + \sqrt[3]{16})$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
Обозначим $a = \sqrt[3]{7}$ и $b = \sqrt[3]{4}$.
Тогда первая скобка $(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{4})$ соответствует $(a - b)$.
Проверим, соответствует ли вторая скобка $(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{28} + \sqrt[3]{16})$ выражению $(a^2 + ab + b^2)$.
$a^2 = (\sqrt[3]{7})^2 = \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49}$.
$ab = \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{7 \cdot 4} = \sqrt[3]{28}$.
$b^2 = (\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16}$.
Действительно, вторая скобка равна $a^2 + ab + b^2$.
Следовательно, исходное выражение можно свернуть по формуле разности кубов:
$(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{28} + \sqrt[3]{16}) = (\sqrt[3]{7})^3 - (\sqrt[3]{4})^3 = 7 - 4 = 3$.
Ответ: 3

2) $(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.
Переставим множители местами для удобства: $(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})$.
Обозначим $a = \sqrt[3]{2}$ и $b = \sqrt[3]{5}$.
Тогда первая скобка $(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$ соответствует $(a + b)$.
Проверим, соответствует ли вторая скобка $(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})$ выражению $(a^2 - ab + b^2)$.
$a^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.
$ab = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2 \cdot 5} = \sqrt[3]{10}$.
$b^2 = (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$.
Действительно, вторая скобка равна $a^2 - ab + b^2$.
Следовательно, исходное выражение можно свернуть по формуле суммы кубов:
$(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25}) = (\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{5})^3 = 2 + 5 = 7$.
Ответ: 7