Номер 526, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

526. Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если:

1) $b_2 = -81, S_2 = 162;$

2) $b_2 = 33, S_2 = 67;$

3) $b_1 + b_2 = 130, b_1 - b_3 = 120;$

4) $b_2 + b_4 = 68, b_2 - b_4 = 60.$

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Чтобы показать, что данная прогрессия является бесконечно убывающей, необходимо в каждом случае найти знаменатель $q$ и проверить выполнение этого условия.

1) Дано: $b_2 = -81$, $S_2 = 162$.

Сумма первых двух членов геометрической прогрессии $S_2$ вычисляется как $S_2 = b_1 + b_2$. Используя данные, найдем первый член прогрессии $b_1$:

$162 = b_1 + (-81)$

$b_1 = 162 + 81 = 243$.

Знаменатель прогрессии $q$ можно найти из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$.

$-81 = 243 \cdot q$

$q = \frac{-81}{243} = -\frac{1}{3}$.

Теперь проверим условие $|q| < 1$:

$|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.

Поскольку $\frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{3}$, и так как $|-\frac{1}{3}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

2) Дано: $b_2 = 33$, $S_2 = 67$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ из формулы $S_2 = b_1 + b_2$:

$67 = b_1 + 33$

$b_1 = 67 - 33 = 34$.

Теперь найдем знаменатель $q$ из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$:

$33 = 34 \cdot q$

$q = \frac{33}{34}$.

Проверим условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{33}{34}| = \frac{33}{34}$.

Поскольку $\frac{33}{34} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Знаменатель прогрессии $q = \frac{33}{34}$, и так как $|\frac{33}{34}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

3) Дано: $b_1 + b_2 = 130$, $b_1 - b_3 = 120$.

Выразим члены прогрессии $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$: $b_2 = b_1 q$, $b_3 = b_1 q^2$. Подставим эти выражения в данные уравнения:

$\begin{cases} b_1 + b_1 q = 130 \\ b_1 - b_1 q^2 = 120 \end{cases}$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$\begin{cases} b_1(1 + q) = 130 & (1) \\ b_1(1 - q^2) = 120 & (2) \end{cases}$

Разложим на множители левую часть второго уравнения: $b_1(1 - q)(1 + q) = 120$.

Разделим второе уравнение на первое (это возможно, так как $b_1(1+q) = 130 \neq 0$):

$\frac{b_1(1 - q)(1 + q)}{b_1(1 + q)} = \frac{120}{130}$

Сократив общие множители, получим:

$1 - q = \frac{12}{13}$

Отсюда найдем $q$:

$q = 1 - \frac{12}{13} = \frac{1}{13}$.

Проверим условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{1}{13}| = \frac{1}{13}$.

Поскольку $\frac{1}{13} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{13}$, и так как $|\frac{1}{13}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

4) Дано: $b_2 + b_4 = 68$, $b_2 - b_4 = 60$.

Рассмотрим данные уравнения как систему линейных уравнений относительно $b_2$ и $b_4$:

$\begin{cases} b_2 + b_4 = 68 \\ b_2 - b_4 = 60 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим:

$2b_2 = 128 \implies b_2 = 64$.

Подставим $b_2 = 64$ в первое уравнение:

$64 + b_4 = 68 \implies b_4 = 4$.

Связь между членами $b_4$ и $b_2$ в геометрической прогрессии выражается формулой $b_4 = b_2 \cdot q^2$.

Подставим найденные значения $b_2$ и $b_4$:

$4 = 64 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}$.

Из этого уравнения находим возможные значения для $q$:

$q = \frac{1}{4}$ или $q = -\frac{1}{4}$.

В обоих случаях модуль знаменателя $q$ равен $\frac{1}{4}$:

$|q| = |\pm\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$.

Поскольку $\frac{1}{4} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей при любом из двух возможных значений знаменателя.

Ответ: Знаменатель прогрессии $q = \pm\frac{1}{4}$, и так как $|\pm\frac{1}{4}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.