Номер 415, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

415. Доказать, что если $a$ — рациональное число, $b$ — иррациональное, то и сумма, и разность чисел $a$ и $b$ являются числами иррациональными.

Для доказательства обоих утверждений (для суммы и для разности) воспользуемся методом от противного. Этот метод заключается в том, чтобы предположить обратное тому, что мы хотим доказать, и прийти к противоречию.

По условию задачи нам дано, что число $a$ является рациональным, а число $b$ — иррациональным.

Сумма

Докажем, что сумма $a+b$ является иррациональным числом.

Предположим противное: пусть сумма $a+b$ является рациональным числом. Обозначим эту сумму буквой $c$, то есть $c = a+b$. Согласно нашему предположению, $c$ — рациональное число.

Из равенства $c = a+b$ выразим число $b$:

$b = c - a$

По условию, $a$ — рациональное число. По нашему предположению, $c$ — также рациональное число. Известно, что разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Следовательно, результат вычитания $c-a$ должен быть рациональным числом.

Таким образом, мы получаем, что $b$ — рациональное число. Но это напрямую противоречит условию задачи, в котором сказано, что $b$ — иррациональное число.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, сумма рационального и иррационального чисел не может быть рациональной.

Ответ: Сумма $a+b$ является иррациональным числом.

Разность

Докажем, что разность $a-b$ является иррациональным числом.

Снова предположим противное: пусть разность $a-b$ является рациональным числом. Обозначим эту разность буквой $d$, то есть $d = a-b$. Согласно нашему предположению, $d$ — рациональное число.

Из равенства $d = a-b$ выразим число $b$:

$b = a - d$

По условию, $a$ — рациональное число. По нашему предположению, $d$ — также рациональное число. Как мы уже знаем, разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Следовательно, результат вычитания $a-d$ должен быть рациональным числом.

Таким образом, мы получаем, что $b$ — рациональное число. Это снова противоречит условию задачи, что $b$ — иррациональное число.

Полученное противоречие означает, что наше предположение было неверным. Следовательно, разность рационального и иррационального чисел не может быть рациональной.

Ответ: Разность $a-b$ является иррациональным числом.