Номер 414, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

§1. Действительные числа. Глава IV. Степень с действительным показателем - номер 414, страница 141.

Условие.

414. Вычислить:

1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n}$;

2) $\lim_{n \to \infty} (0,2)^n$;

3) $\lim_{n \to \infty} \frac{5}{7^{n-1}}$;

4) $\lim_{n \to \infty} \frac{6}{7 \cdot 5^n}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для вычисления предела $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n}$ мы рассматриваем поведение функции при $n$, стремящемся к бесконечности.
Знаменатель $4^n$ представляет собой показательную функцию с основанием больше 1, поэтому при $n \to \infty$, значение $4^n$ неограниченно возрастает, то есть $4^n \to \infty$.
Предел можно рассматривать как деление константы (1) на бесконечно большую величину. Такой предел равен нулю.
Также можно представить выражение в виде предела геометрической прогрессии:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{4})^n$.
Здесь основание прогрессии $q = \frac{1}{4}$. Поскольку $|q| = |\frac{1}{4}| < 1$, предел такой последовательности равен нулю.
Ответ: 0

2) Для вычисления предела $\lim_{n \to \infty} (0,2)^n$ мы имеем дело с пределом геометрической прогрессии, где основание $q = 0,2$.
Основное правило для пределов геометрических прогрессий гласит, что если модуль основания $|q| < 1$, то предел последовательности $q^n$ при $n \to \infty$ равен 0.
В нашем случае $|0,2| < 1$, следовательно:
$\lim_{n \to \infty} (0,2)^n = 0$.
Ответ: 0

3) Для вычисления предела $\lim_{n \to \infty} \frac{5}{7^{n-1}}$ можно вынести константу 5 за знак предела:
$5 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{7^{n-1}}$.
При $n \to \infty$, показатель степени $n-1$ также стремится к бесконечности. Следовательно, знаменатель $7^{n-1}$ неограниченно возрастает ($7^{n-1} \to \infty$).
Деление константы (1) на бесконечно большую величину даёт в пределе 0.
Таким образом, $5 \cdot 0 = 0$.
Также можно преобразовать выражение:
$\lim_{n \to \infty} \frac{5}{7^{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{7^n \cdot 7^{-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 \cdot 7}{7^n} = 35 \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{7})^n = 35 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

4) Для вычисления предела $\lim_{n \to \infty} \frac{6}{7 \cdot 5^n}$ можно вынести постоянный множитель $\frac{6}{7}$ за знак предела:
$\frac{6}{7} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5^n}$.
Рассмотрим оставшийся предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5^n}$. При $n \to \infty$, знаменатель $5^n$ стремится к бесконечности. Таким образом, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5^n} = 0$.
Подставляя это значение, получаем:
$\frac{6}{7} \cdot 0 = 0$.
Как и в предыдущих случаях, это предел, связанный с геометрической прогрессией:
$\lim_{n \to \infty} \frac{6}{7 \cdot 5^n} = \frac{6}{7} \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{5})^n = \frac{6}{7} \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0