Номер 408, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение числового выражения (408–409).

408. 1) $(\sqrt{8} - 3)(3 + 2\sqrt{2})$;

2) $(\sqrt{27} - 2)(2 - 3\sqrt{3})$;

3) $(\sqrt{50} + 4\sqrt{2})\sqrt{2}$;

4) $(5\sqrt{3} + \sqrt{27}):\sqrt{3}$.

Для определения вида числа необходимо максимально упростить каждое выражение. Напомню: рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, а иррациональное содержит неустранимый корень.

1) $(\sqrt{8} - 3)(3 + 2\sqrt{2})$

Сначала упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Выражение принимает вид: $(2\sqrt{2} - 3)(3 + 2\sqrt{2})$.

Заметим, что это формула разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 2\sqrt{2}$ и $b = 3$:

$$(2\sqrt{2})^2 - 3^2 = (4 \cdot 2) - 9 = 8 - 9 = -1$$

Число $-1$ является целым, а значит, и рациональным.

Ответ: рациональное

2) $(\sqrt{27} - 2)(2 - 3\sqrt{3})$

Упростим корень: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

Выражение принимает вид: $(3\sqrt{3} - 2)(2 - 3\sqrt{3})$.

Заметим, что вторая скобка — это первая, умноженная на $-1$. То есть перед нами $-(3\sqrt{3} - 2)^2$:

$$-( (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 ) = -(27 - 12\sqrt{3} + 4) = -(31 - 12\sqrt{3}) = 12\sqrt{3} - 31$$

Так как в результате остался корень $\sqrt{3}$, число является иррациональным.

Ответ: иррациональное

3) $(\sqrt{50} + 4\sqrt{2})\sqrt{2}$

Раскроем скобки, умножая каждое слагаемое на $\sqrt{2}$:

$\sqrt{50} \cdot \sqrt{2} + 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{100} + 4 \cdot 2$

$$10 + 8 = 18$$

Число $18$ — целое.

Ответ: рациональное

4) $(5\sqrt{3} + \sqrt{27}):\sqrt{3}$

Упростим $\sqrt{27}$ как $3\sqrt{3}$ или сразу разделим почленно:

$$\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = 5 + \sqrt{\frac{27}{3}} = 5 + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8$$

Число $8$ — целое.

Ответ: рациональное