gdz.top
Номер 4, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава III. Многочлены. Алгебраические уравнения. Проверь себя глава III (2) - номер 4, страница 133.
№3
№4 (с. 133)
Условие. №4 (с. 133)
4. Найти член разложения $ \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10} $, содержащий $x^2$.
Решение 3. №4 (с. 133)
Решение 4. №4 (с. 133)
Для нахождения искомого члена разложения воспользуемся формулой бинома Ньютона. Общий член разложения $(a+b)^n$, который обозначается как $T_{k+1}$ (где $k$ изменяется от 0 до $n$), имеет вид:
$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
В нашем случае дано выражение $(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{10}$, где:
$a = \sqrt{x} = x^{1/2}$
$b = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$
$n = 10$
Подставим эти значения в формулу для общего члена разложения:
$T_{k+1} = \binom{10}{k} (x^{1/2})^{10-k} (x^{-1/2})^k$
Теперь упростим выражение, выполнив действия со степенями $x$:
$T_{k+1} = \binom{10}{k} x^{\frac{1}{2}(10-k)} x^{-\frac{1}{2}k} = \binom{10}{k} x^{\frac{10-k}{2} - \frac{k}{2}} = \binom{10}{k} x^{\frac{10-2k}{2}} = \binom{10}{k} x^{5-k}$
Нам необходимо найти член разложения, содержащий $x^2$. Это означает, что показатель степени при $x$ должен быть равен 2. Составим и решим уравнение относительно $k$:
$5 - k = 2$
Отсюда находим $k$:
$k = 5 - 2 = 3$
Таким образом, искомый член соответствует значению $k=3$. Это будет четвертый член разложения ($T_{3+1}=T_4$). Теперь вычислим его полностью. Сначала найдем биномиальный коэффициент $\binom{10}{3}$:
$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$
Подставив $k=3$ и значение коэффициента в формулу для $T_{k+1}$, получим искомый член:
$T_{3+1} = 120 \cdot x^{5-3} = 120x^2$
Ответ: $120x^2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 133 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 133), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.