Номер 5, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Решить систему уравнений $\begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19, \\ x - y = 7. \end{cases}$

Для решения системы уравнений $ \begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19 \\ x - y = 7 \end{cases} $ используем метод подстановки. Из второго, линейного, уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = y + 7$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y + 7)^2 - (y + 7)y - y^2 = 19$

Раскроем скобки. Для этого возведем $(y+7)$ в квадрат и умножим $(y+7)$ на $y$:

$(y^2 + 14y + 49) - (y^2 + 7y) - y^2 = 19$

Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 14y + 49 - y^2 - 7y - y^2 = 19$

$(y^2 - y^2 - y^2) + (14y - 7y) + 49 = 19$

$-y^2 + 7y + 49 = 19$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-y^2 + 7y + 49 - 19 = 0$

$-y^2 + 7y + 30 = 0$

Для удобства решения умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при старшем члене стал положительным:

$y^2 - 7y - 30 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно переменной $y$. Можно использовать формулу для корней через дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2$ должна быть равна $7$, а их произведение $y_1 \cdot y_2$ должно быть равно $-30$. Подбором находим корни:

$y_1 = 10$

$y_2 = -3$

Теперь, когда у нас есть значения для $y$, найдем соответствующие значения для $x$, используя ранее выведенное соотношение $x = y + 7$.

1. Для $y_1 = 10$:

$x_1 = 10 + 7 = 17$

Таким образом, первая пара решений $(x; y)$ это $(17; 10)$.

2. Для $y_2 = -3$:

$x_2 = -3 + 7 = 4$

Таким образом, вторая пара решений $(x; y)$ это $(4; -3)$.

Проведем проверку, подставив найденные пары в исходные уравнения.

Для пары $(17; 10)$:

$x - y = 17 - 10 = 7$ (верно).

$x^2 - xy - y^2 = 17^2 - 17 \cdot 10 - 10^2 = 289 - 170 - 100 = 19$ (верно).

Для пары $(4; -3)$:

$x - y = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$ (верно).

$x^2 - xy - y^2 = 4^2 - 4(-3) - (-3)^2 = 16 + 12 - 9 = 19$ (верно).

Обе пары удовлетворяют системе уравнений.

Ответ: $(17; 10)$, $(4; -3)$.