Номер 16, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

16. Какой многочлен называют однородным?

Однородным многочленом (или однородным полиномом) называют многочлен, все члены (одночлены) которого имеют одну и ту же степень. Эта общая степень называется степенью однородности многочлена.

Чтобы понять это определение, нужно вспомнить, что степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Например, для одночлена $7x^3y^2z$ степень равна $3 + 2 + 1 = 6$. Для свободного члена (числа без переменных) степень считается равной 0.

Примеры однородных многочленов

1. Многочлен $P(x, y) = 3x^2 - 5xy + 2y^2$ является однородным многочленом второй степени.
- Степень члена $3x^2$ равна 2.
- Степень члена $-5xy$ (т.е. $-5x^1y^1$) равна $1+1=2$.
- Степень члена $2y^2$ равна 2.
Все члены имеют одинаковую степень 2.

2. Многочлен $P(a, b, c) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ является однородным многочленом третьей степени.
- Степени членов $a^3, b^3, c^3$ равны 3.
- Степень члена $-3abc$ (т.е. $-3a^1b^1c^1$) равна $1+1+1=3$.
Все члены имеют одинаковую степень 3.

Пример многочлена, который не является однородным

Многочлен $Q(x, y) = 5x^3 - 2xy + 4y^2 - 7$.
- Степень члена $5x^3$ равна 3.
- Степень члена $-2xy$ равна $1+1=2$.
- Степень члена $4y^2$ равна 2.
- Степень члена $-7$ (свободного члена) равна 0.
Поскольку степени членов (3, 2, 2, 0) различны, этот многочлен не является однородным.

Формальное определение

Многочлен $P(x_1, x_2, \dots, x_n)$ называется однородным степени $k$, если для любого числа $\lambda$ выполняется тождество: $P(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n) = \lambda^k P(x_1, x_2, \dots, x_n)$.
Проверим это свойство на первом примере $P(x, y) = 3x^2 - 5xy + 2y^2$:
$P(\lambda x, \lambda y) = 3(\lambda x)^2 - 5(\lambda x)(\lambda y) + 2(\lambda y)^2 = 3\lambda^2x^2 - 5\lambda^2xy + 2\lambda^2y^2 = \lambda^2(3x^2 - 5xy + 2y^2) = \lambda^2 P(x, y)$.
Так как множитель при $P(x, y)$ равен $\lambda^2$, многочлен является однородным степени 2.

Ответ: Однородным называется многочлен, у которого все его члены (одночлены) имеют одинаковую степень.