Номер 10, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

10. Сформулировать теорему о целом корне уравнения $a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_n = 0$ с целочисленными коэффициентами.

Теорема о целом корне алгебраического уравнения с целыми коэффициентами является прямым следствием более общей теоремы о рациональных корнях.

Формулировка теоремы:

Если уравнение $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0$, все коэффициенты которого ($a_0, a_1, \dots, a_n$) являются целыми числами, имеет целый корень $x=k$, то этот корень обязательно является делителем свободного члена $a_n$.

Доказательство:

Пусть $k$ – это целый корень данного уравнения. Согласно определению корня, подстановка значения $x=k$ в уравнение обращает его в верное равенство:

$a_0k^n + a_1k^{n-1} + \dots + a_{n-1}k + a_n = 0$

Перенесем все члены, содержащие $k$, в правую часть уравнения, оставив свободный член $a_n$ слева:

$a_n = - (a_0k^n + a_1k^{n-1} + \dots + a_{n-1}k)$

В правой части равенства вынесем общий множитель $k$ за скобки:

$a_n = -k \cdot (a_0k^{n-1} + a_1k^{n-2} + \dots + a_{n-1})$

По условию, все коэффициенты $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ являются целыми числами. Корень $k$ также является целым числом. Поскольку сумма, разность и произведение целых чисел всегда дают целое число, то выражение в скобках $M = a_0k^{n-1} + a_1k^{n-2} + \dots + a_{n-1}$ также является некоторым целым числом.

Таким образом, мы получили равенство вида:

$a_n = -k \cdot M$

Это равенство, где $a_n, k, M$ — целые числа, по определению делимости означает, что число $a_n$ делится нацело на число $k$. Следовательно, любой целый корень $k$ уравнения является делителем его свободного члена $a_n$. Что и требовалось доказать.

Эта теорема очень полезна на практике, так как она позволяет ограничить поиск возможных целых корней конечным набором делителей свободного члена.

Ответ: Если уравнение $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0$ с целочисленными коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена $a_n$.