Номер 3, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Какие многочлены называют тождественно равными?

Какие многочлены называют тождественно равными?

Два многочлена называются тождественно равными, если их значения равны при любых значениях входящих в них переменных.

Это означает, что если у нас есть два многочлена, например $P_1(x, y)$ и $P_2(x, y)$, то они тождественно равны, если для любой пары числовых значений переменных $x$ и $y$ результат вычисления $P_1$ будет таким же, как и результат вычисления $P_2$. Такое равенство называется тождеством, и для его обозначения часто используют знак тождественного равенства $ \equiv $.

На практике, чтобы проверить, являются ли два многочлена тождественно равными, их сравнивают в стандартном виде. Многочлен приведён к стандартному виду, если все его члены (одночлены) также записаны в стандартном виде (числовой коэффициент стоит на первом месте, а за ним следуют переменные в алфавитном порядке с их степенями) и среди них нет подобных слагаемых.

Ключевое правило: Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда их стандартные виды полностью совпадают. Это значит, что после выполнения всех преобразований (раскрытия скобок, приведения подобных членов) они должны состоять из абсолютно одинакового набора одночленов.

Пример 1:

Проверим, являются ли тождественно равными многочлены $A = (x-2)(x+2) + 4$ и $B = x^2$.

Приведем многочлен $A$ к стандартному виду, используя формулу разности квадратов:

$A = (x^2 - 2^2) + 4 = (x^2 - 4) + 4 = x^2$.

Многочлен $B = x^2$ уже находится в стандартном виде.

Так как стандартные виды многочленов $A$ и $B$ совпали ($x^2$ и $x^2$), эти многочлены тождественно равны. То есть, $(x-2)(x+2) + 4 \equiv x^2$.

Пример 2:

Рассмотрим многочлены $C = (2a+b)(a-b)$ и $D = 2a^2 - b^2$.

Приведем многочлен $C$ к стандартному виду, раскрыв скобки:

$C = 2a \cdot a + 2a \cdot (-b) + b \cdot a + b \cdot (-b) = 2a^2 - 2ab + ab - b^2$.

Теперь приведем подобные члены:

$C = 2a^2 + (-2ab + ab) - b^2 = 2a^2 - ab - b^2$.

Многочлен $D = 2a^2 - b^2$ уже в стандартном виде.

Сравним их стандартные виды: $2a^2 - ab - b^2$ и $2a^2 - b^2$. Они отличаются наличием члена $-ab$ в многочлене $C$. Следовательно, многочлены $C$ и $D$ не являются тождественно равными.

Ответ: Тождественно равными называют многочлены, которые принимают равные значения при любых значениях входящих в них переменных. Практический способ проверки: два многочлена тождественно равны, если после приведения их к стандартному виду (упрощения выражений и приведения подобных слагаемых) они полностью совпадают, то есть состоят из одинаковых членов с одинаковыми коэффициентами.