Номер 7, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава III. Многочлены. Алгебраические уравнения. Вопросы к главе III - номер 7, страница 133.

Условие.

7. Дать определение корня многочлена.

Решение 1.

Решение 4.

Рассмотрим многочлен $P(x)$ от одной переменной $x$ с коэффициентами из некоторого числового поля (например, поля действительных $\mathbb{R}$ или комплексных $\mathbb{C}$ чисел). Общий вид такого многочлена:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$

где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ — числовые коэффициенты (причем $a_n \neq 0$), а $n$ — неотрицательное целое число, называемое степенью многочлена.

Корнем многочлена $P(x)$ называется такое число $c$, при подстановке которого вместо переменной $x$ значение многочлена обращается в ноль.

Иными словами, число $c$ является корнем многочлена $P(x)$, если выполняется равенство:

$P(c) = a_n c^n + a_{n-1} c^{n-1} + \dots + a_1 c + a_0 = 0$

Корни многочлена также часто называют нулями многочлена, поскольку они являются значениями аргумента, при которых функция $y=P(x)$ принимает нулевое значение.

Пример 1:
Для многочлена $P(x) = x^2 - 4$ корнями являются числа $2$ и $-2$.
Проверка:
$P(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$
$P(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

Пример 2:
Для многочлена $Q(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2$ корнем является число $2$.
Проверка:
$Q(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2 - 2 = 8 - 2 \cdot 4 + 0 = 8 - 8 = 0$

Понятие корня тесно связано с теоремой Безу (следствием из нее), которая утверждает, что число $c$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - c)$ без остатка. Это означает, что $P(x)$ можно представить в виде $P(x) = (x-c) \cdot Q(x)$, где $Q(x)$ — некоторый многочлен, степень которого на единицу меньше степени $P(x)$.

Ответ: Корень многочлена $P(x)$ — это число $c$, которое при подстановке в многочлен вместо переменной обращает его в нуль, то есть удовлетворяет уравнению $P(c) = 0$.