Номер 9, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

9. Сформулировать теорему о числе корней многочлена.

Теорема о числе корней многочлена — это фундаментальный результат в алгебре, который определяет максимальное количество корней, которое может иметь многочлен. Существует несколько формулировок этой теоремы, от простой до более точной, использующей комплексные числа.

В наиболее простой и общей форме теорема утверждает, что ненулевой многочлен степени $n$ имеет не более $n$ различных корней. Это утверждение справедливо для корней из любого числового поля, будь то поле рациональных, действительных или комплексных чисел. Например, квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (многочлен второй степени) не может иметь более двух различных решений.

Для более точной формулировки необходимо ввести понятия комплексных чисел и кратности корня. Основная теорема алгебры гласит, что любой многочлен степени $n \geq 1$ с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Как следствие из этого, формулируется более сильное утверждение о точном количестве корней: любой многочлен степени $n$, где $n \geq 1$, вида $P_n(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ с комплексными коэффициентами ($a_n \neq 0$) имеет в поле комплексных чисел ровно $n$ корней, если каждый корень считать с учётом его кратности.

Кратность корня $c$ — это число, показывающее, сколько раз множитель $(x-c)$ входит в разложение многочлена на множители. Например, в многочлене $P(x) = x^3 - 4x^2 + 4x = x(x-2)^2$, корень $x=0$ имеет кратность 1, а корень $x=2$ имеет кратность 2. Степень многочлена равна 3, и сумма кратностей корней также равна $1+2=3$. Таким образом, у многочлена ровно 3 корня с учётом их кратности.

Эта теорема означает, что любой многочлен $P_n(x)$ можно единственным образом (с точностью до перестановки множителей) представить в виде произведения: $P_n(x) = a_n (x-c_1)^{k_1} (x-c_2)^{k_2} \dots (x-c_m)^{k_m}$, где $c_1, \dots, c_m$ — различные корни, а $k_1 + \dots + k_m = n$ — сумма их кратностей.

Для многочленов с действительными коэффициентами, которые являются частным случаем многочленов с комплексными коэффициентами, действует то же правило. Однако их комплексные (недействительные) корни всегда появляются сопряженными парами. То есть, если $z = a+bi$ ($b \neq 0$) является корнем, то и сопряжённое ему число $\bar{z} = a-bi$ также является корнем той же кратности. Это означает, что многочлен степени $n$ с действительными коэффициентами может иметь меньше $n$ действительных корней, но общее число корней (действительных и комплексных) с учётом кратности всегда равно $n$.

Ответ: Теорема о числе корней многочлена гласит, что многочлен степени $n \geq 1$ имеет не более $n$ различных корней. Более точная формулировка, являющаяся следствием основной теоремы алгебры, утверждает, что любой многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней, если учитывать их кратность.