Номер 9, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, синий

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы к главе III. Глава III. Многочлены. Алгебраические уравнения - номер 9, страница 133.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№9 (с. 133)
Условие. №9 (с. 133)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 133, номер 9, Условие

9. Сформулировать теорему о числе корней многочлена.

Решение 1. №9 (с. 133)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 133, номер 9, Решение 1
Решение 4. №9 (с. 133)

Теорема о числе корней многочлена — это фундаментальный результат в алгебре, который определяет максимальное количество корней, которое может иметь многочлен. Существует несколько формулировок этой теоремы, от простой до более точной, использующей комплексные числа.

В наиболее простой и общей форме теорема утверждает, что ненулевой многочлен степени nn имеет не более nn различных корней. Это утверждение справедливо для корней из любого числового поля, будь то поле рациональных, действительных или комплексных чисел. Например, квадратное уравнение ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 (многочлен второй степени) не может иметь более двух различных решений.

Для более точной формулировки необходимо ввести понятия комплексных чисел и кратности корня. Основная теорема алгебры гласит, что любой многочлен степени n1n \geq 1 с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Как следствие из этого, формулируется более сильное утверждение о точном количестве корней: любой многочлен степени nn, где n1n \geq 1, вида Pn(x)=anxn++a0P_n(x) = a_n x^n + \dots + a_0 с комплексными коэффициентами (an0a_n \neq 0) имеет в поле комплексных чисел ровно nn корней, если каждый корень считать с учётом его кратности.

Кратность корня cc — это число, показывающее, сколько раз множитель (xc)(x-c) входит в разложение многочлена на множители. Например, в многочлене P(x)=x34x2+4x=x(x2)2P(x) = x^3 - 4x^2 + 4x = x(x-2)^2, корень x=0x=0 имеет кратность 1, а корень x=2x=2 имеет кратность 2. Степень многочлена равна 3, и сумма кратностей корней также равна 1+2=31+2=3. Таким образом, у многочлена ровно 3 корня с учётом их кратности.

Эта теорема означает, что любой многочлен Pn(x)P_n(x) можно единственным образом (с точностью до перестановки множителей) представить в виде произведения: Pn(x)=an(xc1)k1(xc2)k2(xcm)kmP_n(x) = a_n (x-c_1)^{k_1} (x-c_2)^{k_2} \dots (x-c_m)^{k_m}, где c1,,cmc_1, \dots, c_m — различные корни, а k1++km=nk_1 + \dots + k_m = n — сумма их кратностей.

Для многочленов с действительными коэффициентами, которые являются частным случаем многочленов с комплексными коэффициентами, действует то же правило. Однако их комплексные (недействительные) корни всегда появляются сопряженными парами. То есть, если z=a+biz = a+bi (b0b \neq 0) является корнем, то и сопряжённое ему число zˉ=abi\bar{z} = a-bi также является корнем той же кратности. Это означает, что многочлен степени nn с действительными коэффициентами может иметь меньше nn действительных корней, но общее число корней (действительных и комплексных) с учётом кратности всегда равно nn.

Ответ: Теорема о числе корней многочлена гласит, что многочлен степени n1n \geq 1 имеет не более nn различных корней. Более точная формулировка, являющаяся следствием основной теоремы алгебры, утверждает, что любой многочлен степени nn с комплексными коэффициентами имеет ровно nn комплексных корней, если учитывать их кратность.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 9 расположенного на странице 133 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9 (с. 133), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться