Номер 12, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

12. Какой многочлен называется симметрическим?

Симметрическим многочленом от $n$ переменных $x_1, x_2, \ldots, x_n$ называется многочлен, который не изменяется при любой перестановке (перемене мест) своих переменных.

Формально, многочлен $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ является симметрическим, если для любой перестановки $\sigma$ индексов $\{1, 2, \ldots, n\}$ выполняется равенство:
$P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = P(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(n)})$

Проще говоря, если в многочлене поменять местами любые две переменные, вид многочлена не изменится. Например, для многочлена от двух переменных $P(x, y)$ это означает, что $P(x, y) = P(y, x)$. Для многочлена от трех переменных $P(x, y, z)$ это означает, что $P(x, y, z) = P(y, x, z) = P(x, z, y)$ и так далее для всех возможных перестановок.

Примеры симметрических многочленов:

• От двух переменных $x, y$:
  • $x + y$ (так как $y + x = x + y$)
  • $xy$ (так как $yx = xy$)
  • $x^2 + y^2$
  • $x^3 + y^3 + 5xy$
• От трех переменных $x, y, z$:
  • $x + y + z$
  • $xy + yz + zx$
  • $xyz$
  • $x^2 + y^2 + z^2$

Многочлен $x - y$ не является симметрическим, так как при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ получается $y - x$, что не равно исходному многочлену (кроме случая $x=y$).

Элементарные симметрические многочлены

Особую роль играют так называемые элементарные (или основные) симметрические многочлены, обозначаемые $\sigma_k$. Для $n$ переменных $x_1, \ldots, x_n$ они определяются следующим образом:

• $\sigma_1 = x_1 + x_2 + \ldots + x_n$ (сумма всех переменных)
• $\sigma_2 = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j$ (сумма всех попарных произведений)
• $\ldots$
• $\sigma_k = \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \ldots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \ldots x_{i_k}$ (сумма всех произведений по $k$ различных переменных)
• $\ldots$
• $\sigma_n = x_1 x_2 \ldots x_n$ (произведение всех переменных)

Основная теорема о симметрических многочленах

Эта фундаментальная теорема гласит, что любой симметрический многочлен от переменных $x_1, \ldots, x_n$ можно единственным образом представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$.

Например, симметрический многочлен $P(x, y) = x^2 + y^2$ можно выразить через элементарные симметрические многочлены для двух переменных $\sigma_1 = x + y$ и $\sigma_2 = xy$:
$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$.

Ответ: Симметрический многочлен — это многочлен от нескольких переменных, который не изменяет своего вида при любой перестановке (замене мест) этих переменных.