Номер 6, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Как можно разделить один многочлен на другой?

Разделить один многочлен $P(x)$ на другой многочлен $D(x)$ — значит найти такие многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток), что выполняется равенство $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$, причем степень многочлена-остатка $R(x)$ должна быть строго меньше степени многочлена-делителя $D(x)$.

Существует два основных метода для деления многочленов. Основным является деление столбиком (или уголком), которое аналогично делению чисел. Также существует более быстрый метод для частного случая — схема Горнера, которая применяется для деления на двучлен вида $(x - c)$.

Деление многочленов столбиком

Этот метод является универсальным и подходит для деления любого многочлена на любой другой (ненулевой) многочлен, степень которого не превышает степень делимого.

Алгоритм деления столбиком:

1. Записать делимое и делитель в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной. Если какая-то степень отсутствует, на ее место ставят член с коэффициентом 0 (это помогает не сбиться со счетом).
2. Разделить старший член делимого на старший член делителя. Полученный результат будет первым членом частного.
3. Умножить этот член частного на весь делитель.
4. Вычесть полученное произведение из делимого. Результат вычитания (первый остаток) записать под чертой.
5. Повторять шаги 2-4 с полученным остатком в качестве нового делимого до тех пор, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.

Пример: Разделим многочлен $P(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 4x - 3$ на $D(x) = x^2 - x + 1$.

В результате деления мы получили:
Частное: $Q(x) = 3x^2 - 2x - 3$
Остаток: $R(x) = 3x$

Запись результата: $3x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 4x - 3 = (x^2 - x + 1)(3x^2 - 2x - 3) + 3x$.

Схема Горнера

Этот метод является очень быстрым и удобным способом деления многочлена $P(x)$ на линейный двучлен вида $(x-c)$.

Алгоритм схемы Горнера:

1. Начертить таблицу. В верхней строке выписать коэффициенты многочлена-делимого $P(x)$ в порядке убывания степеней.
2. Слева от таблицы написать число $c$ из делителя $(x-c)$.
3. Старший коэффициент делимого "снести" в нижнюю строку без изменений. Это будет старший коэффициент частного.
4. Умножить этот коэффициент на $c$ и записать результат в среднюю строку под следующим коэффициентом делимого.
5. Сложить числа во втором столбце (коэффициент делимого и результат умножения). Результат записать в нижнюю строку — это следующий коэффициент частного.
6. Повторять шаги 4-5 до последнего коэффициента. Последнее полученное число в нижней строке будет остатком от деления.

Пример: Разделим многочлен $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ на $D(x) = x - 2$. Здесь $c=2$.

Коэффициенты многочлена $P(x)$: 2, -3, 4, -5.

Нижняя строка (кроме последнего числа) дает коэффициенты частного. Степень частного всегда на единицу меньше степени делимого.
Коэффициенты частного: 2, 1, 6. Значит, частное $Q(x) = 2x^2 + x + 6$.
Последнее число в нижней строке (выделено красным) — это остаток: $R(x) = 7$.

Таким образом, $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x - 2)(2x^2 + x + 6) + 7$.

Ответ: Основным способом деления одного многочлена на другой является деление столбиком (уголком), которое применимо в общем случае. Для частного случая, когда делитель является линейным двучленом вида $(x-c)$, можно использовать более быстрый и удобный метод — схему Горнера.