Номер 403, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

403. Каждый килограмм сена, соломы и силоса содержит соответственно 0,41, 0,19 и 0,16 кормовой единицы (одна кормовая единица по питательности равна 1 кг овса среднего качества). Сено и солома содержат по 85% сухого вещества, а силос — 28%. Определить норму выдачи корове сена, соломы и силоса, если она должна с этими кормами получить 17,5 кг сухого вещества и 7,4 кормовой единицы. Сено и солому в корм добавляют в равных количествах.

Для решения задачи необходимо составить и решить систему линейных уравнений. Введем переменные:

- пусть $x$ – это масса сена в килограммах (кг);
- пусть $y$ – это масса соломы в кг;
- пусть $z$ – это масса силоса в кг.

Исходя из условий задачи, сформулируем уравнения.

1. Условие о количестве сена и соломы.
В задаче сказано, что "сено и солому в корм добавляют в равных количествах". Это означает, что их массы равны:
$x = y$

2. Условие о сухом веществе.
Общее количество сухого вещества, которое должна получить корова, составляет 17,5 кг. Содержание сухого вещества в сене – 85% (0,85), в соломе – 85% (0,85), в силосе – 28% (0,28). Составим уравнение по сухому веществу:
$0,85x + 0,85y + 0,28z = 17,5$

3. Условие о кормовых единицах.
Общее количество кормовых единиц должно быть равно 7,4. Содержание кормовых единиц на 1 кг: сено – 0,41, солома – 0,19, силос – 0,16. Составим уравнение по кормовым единицам:
$0,41x + 0,19y + 0,16z = 7,4$

Таким образом, мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными: $ \begin{cases} x = y \\ 0,85x + 0,85y + 0,28z = 17,5 \\ 0,41x + 0,19y + 0,16z = 7,4 \end{cases} $

Подставим первое уравнение ($x=y$) во второе и третье уравнения, чтобы упростить систему:

Во втором уравнении: $0,85x + 0,85x + 0,28z = 17,5$
$1,7x + 0,28z = 17,5$

В третьем уравнении: $0,41x + 0,19x + 0,16z = 7,4$
$0,6x + 0,16z = 7,4$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} 1,7x + 0,28z = 17,5 \\ 0,6x + 0,16z = 7,4 \end{cases} $

Решим эту систему. Умножим второе уравнение на 1,75, чтобы коэффициенты при $z$ стали одинаковыми ($0,16 \cdot 1,75 = 0,28$): $1,75 \cdot (0,6x + 0,16z) = 1,75 \cdot 7,4$
$1,05x + 0,28z = 12,95$

Теперь вычтем полученное уравнение из первого уравнения системы: $(1,7x + 0,28z) - (1,05x + 0,28z) = 17,5 - 12,95$
$0,65x = 4,55$
$x = \frac{4,55}{0,65} = 7$

Мы нашли массу сена: $x = 7$ кг.

Так как $x = y$, то масса соломы также равна 7 кг: $y = 7$ кг.

Теперь найдем массу силоса $z$, подставив значение $x = 7$ во второе упрощенное уравнение ($0,6x + 0,16z = 7,4$): $0,6 \cdot 7 + 0,16z = 7,4$
$4,2 + 0,16z = 7,4$
$0,16z = 7,4 - 4,2$
$0,16z = 3,2$
$z = \frac{3,2}{0,16} = 20$

Масса силоса составляет $z = 20$ кг.

Проведем проверку:
Сухое вещество: $0,85 \cdot 7 + 0,85 \cdot 7 + 0,28 \cdot 20 = 5,95 + 5,95 + 5,6 = 17,5$ кг (верно).
Кормовые единицы: $0,41 \cdot 7 + 0,19 \cdot 7 + 0,16 \cdot 20 = 2,87 + 1,33 + 3,2 = 7,4$ (верно).

Ответ: норма выдачи корове составляет 7 кг сена, 7 кг соломы и 20 кг силоса.