Номер 397, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

397. С помощью схемы Горнера найти целые корни многочлена:

1) $P(x)=x^4+4x^3-25x^2-16x+84$;

2) $P(x)=x^5-2x^4+3x^3-10x^2-40x+48$.

1) $P(x) = x^4 + 4x^3 - 25x^2 - 16x + 84$

Согласно следствию из теоремы Безу, целыми корнями многочлена с целыми коэффициентами могут быть только делители его свободного члена. В данном случае свободный член равен 84.
Делители числа 84: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 7, \pm 12, \pm 14, \pm 21, \pm 28, \pm 42, \pm 84 $.
Проверим некоторые из этих делителей с помощью схемы Горнера. Коэффициенты многочлена: 1, 4, -25, -16, 84.

Проверим корень $x=2$:

Остаток равен 0, значит, $x=2$ является корнем. Коэффициенты нового многочлена (частного) равны 1, 6, -13, -42.
$P(x) = (x-2)(x^3 + 6x^2 - 13x - 42)$.
Теперь найдем корни многочлена $Q_1(x) = x^3 + 6x^2 - 13x - 42$. Его целые корни должны быть делителями числа -42.

Проверим корень $x=-2$ для $Q_1(x)$:

Остаток равен 0, значит, $x=-2$ также является корнем.
$P(x) = (x-2)(x+2)(x^2 + 4x - 21)$.
Оставшиеся корни являются корнями квадратного уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.
Решим его. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -21, сумма равна -4. Это числа -7 и 3.
Или по формуле дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2}$.
$x_3 = \frac{-4 - 10}{2} = -7$.
$x_4 = \frac{-4 + 10}{2} = 3$.
Таким образом, все целые корни многочлена найдены.

Ответ: -7, -2, 2, 3.

2) $P(x) = x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 10x^2 - 40x + 48$

Целые корни многочлена должны быть делителями свободного члена, равного 48.
Делители числа 48: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48 $.
Коэффициенты многочлена: 1, -2, 3, -10, -40, 48.

Проверим корень $x=1$:

Остаток равен 0, значит, $x=1$ является корнем.
$P(x) = (x-1)(x^4 - x^3 + 2x^2 - 8x - 48)$.
Теперь ищем корни многочлена $Q_1(x) = x^4 - x^3 + 2x^2 - 8x - 48$. Его целые корни должны быть делителями числа -48.

Проверим корень $x=-2$ для $Q_1(x)$:

Остаток равен 0, значит, $x=-2$ является корнем.
$P(x) = (x-1)(x+2)(x^3 - 3x^2 + 8x - 24)$.
Теперь решим уравнение $x^3 - 3x^2 + 8x - 24 = 0$.
Можно найти корни по схеме Горнера (делители -24), либо попробовать разложить на множители методом группировки:
$x^2(x - 3) + 8(x - 3) = 0$
$(x^2 + 8)(x - 3) = 0$
Отсюда получаем два уравнения:
1) $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Это целый корень.
2) $x^2 + 8 = 0 \implies x^2 = -8$. Это уравнение не имеет действительных (а значит и целых) корней.
Следовательно, мы нашли все целые корни исходного многочлена.

Ответ: -2, 1, 3.