Номер 392, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

392. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - xy = 0, \\ y^2 + 3xy = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - y = 0, \\ x^2 + y^2 = 5y; \end{cases}$

3) $\begin{cases} xy + x - 3y = 3, \\ x^2 + y^2 = 10; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y + xy = 11, \\ x^2y + xy^2 = 30. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - xy = 0 \\ y^2 + 3xy = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения $x - xy = 0$ вынесем $x$ за скобки:

$x(1 - y) = 0$

Это уравнение выполняется в двух случаях: либо $x = 0$, либо $1 - y = 0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x = 0$ во второе уравнение системы:

$y^2 + 3 \cdot 0 \cdot y = 4$

$y^2 = 4$

Отсюда получаем $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Таким образом, мы получили два решения: $(0, 2)$ и $(0, -2)$.

Случай 2: $1 - y = 0$, то есть $y = 1$.

Подставим $y = 1$ во второе уравнение системы:

$1^2 + 3x \cdot 1 = 4$

$1 + 3x = 4$

$3x = 3$

$x = 1$

Таким образом, мы получили еще одно решение: $(1, 1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем три пары чисел.

Ответ: $(0, 2)$, $(0, -2)$, $(1, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x^2 + y^2 = 5y \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x^2$.

Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$.

Подставим выражение $y = x^2$ во второе уравнение системы:

$x^2 + (x^2)^2 = 5(x^2)$

Заменим $x^2$ на $y$:

$y + y^2 = 5y$

$y^2 - 4y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y - 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ или $y_2 = 4$. Оба значения удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Случай 1: $y = 0$.

Подставим это значение в уравнение $y = x^2$:

$x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Получили решение $(0, 0)$.

Случай 2: $y = 4$.

Подставим это значение в уравнение $y = x^2$:

$x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Получили еще два решения: $(2, 4)$ и $(-2, 4)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(2, 4)$, $(-2, 4)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy + x - 3y = 3 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение:

$xy + x - 3y - 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$x(y + 1) - 3(y + 1) = 0$

$(x - 3)(y + 1) = 0$

Это уравнение истинно, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$.

Подставим $x = 3$ во второе уравнение системы:

$3^2 + y^2 = 10$

$9 + y^2 = 10$

$y^2 = 1$, откуда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1