Номер 392, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

392. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - xy = 0, \\ y^2 + 3xy = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - y = 0, \\ x^2 + y^2 = 5y; \end{cases}$

3) $\begin{cases} xy + x - 3y = 3, \\ x^2 + y^2 = 10; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y + xy = 11, \\ x^2y + xy^2 = 30. \end{cases}$

Для решения данных систем уравнений применим методы разложения на множители, подстановки и введения новых переменных (теорема Виета).

1) Система №1

$\begin{cases} x - xy = 0 \\ y^2 + 3xy = 4 \end{cases}$

Решение:

1. Из первого уравнения вынесем $x$ за скобки: $x(1 - y) = 0$. Отсюда либо $\mathbf{x = 0}$, либо $\mathbf{y = 1}$.
2. Если $x = 0$, подставим во второе уравнение: $y^2 + 3(0)y = 4 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow \mathbf{y = \pm 2}$. Получаем пары: $(0; 2)$ и $(0; -2)$.
3. Если $y = 1$, подставим во второе: $1^2 + 3x(1) = 4 \Rightarrow 1 + 3x = 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow \mathbf{x = 1}$. Получаем пару: $(1; 1)$.

Ответ: $(0; 2), (0; -2), (1; 1)$.

2) Система №2

$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x^2 + y^2 = 5y \end{cases}$

Решение:

1. Из первого уравнения выразим $x^2 = y$.
2. Подставим это выражение во второе уравнение вместо $x^2$: $y + y^2 = 5y \Rightarrow y^2 - 4y = 0 \Rightarrow y(y - 4) = 0$.
3. Находим $y$: $\mathbf{y_1 = 0}$ или $\mathbf{y_2 = 4}$.
4. Находим $x$:
   • Если $y = 0$, то $x^2 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = 0}$.
   • Если $y = 4$, то $x^2 = 4 \Rightarrow \mathbf{x = \pm 2}$.

Ответ: $(0; 0), (2; 4), (-2; 4)$.

3) Система №3

$\begin{cases} xy + x - 3y = 3 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$

Решение:

1. Сгруппируем члены в первом уравнении: $x(y + 1) - 3(y + 1) = 0 \Rightarrow (x - 3)(y + 1) = 0$.
2. Отсюда либо $\mathbf{x = 3}$, либо $\mathbf{y = -1}$.
3. Если $x = 3$: $3^2 + y^2 = 10 \Rightarrow 9 + y^2 = 10 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow \mathbf{y = \pm 1}$.
4. Если $y = -1$: $x^2 + (-1)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 1 = 10 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow \mathbf{x = \pm 3}$.

Ответ: $(3; 1), (3; -1), (-3; -1)$.

4) Система №4

$\begin{cases} x + y + xy = 11 \\ x^2y + xy^2 = 30 \end{cases}$

Решение:

1. Преобразуем второе уравнение, вынося $xy$ за скобки: $xy(x + y) = 30$.
2. Введем замену переменных: пусть $\mathbf{u = x + y}$ и $\mathbf{v = xy}$.
3. Система примет вид: $\begin{cases} u + v = 11 \\ uv = 30 \end{cases}$
4. По теореме Виета $u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - 11t + 30 = 0$. Корни: $5$ и $6$.
5. Рассмотрим два случая:
   • Случай А: $x + y = 5, xy = 6$. По теореме Виета это числа $2$ и $3$.
   • Случай Б: $x + y = 6, xy = 5$. По теореме Виета это числа $1$ и $5$.

Ответ: $(2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1)$.