Номер 393, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

393. Найти такие числа $b$ и $c$, чтобы многочлен $x^6 + bx^5 + cx^4$ делился на:

1) $x + 2$ и $x - 3$;

2) $x - 4$ и $x + 5$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, если многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка, то число $a$ является корнем этого многочлена, то есть $P(a) = 0$.

Наш многочлен: $P(x) = x^6 + bx^5 + cx^4$.

1) x+2 и x-3

Если многочлен $P(x)$ делится на $(x+2)$ и $(x-3)$, то числа $-2$ и $3$ являются его корнями. Это означает, что $P(-2)=0$ и $P(3)=0$.

Составим систему уравнений, подставив эти значения в многочлен:

1. Для $x = -2$:
$P(-2) = (-2)^6 + b(-2)^5 + c(-2)^4 = 0$
$64 + b(-32) + c(16) = 0$
$64 - 32b + 16c = 0$
Разделим все уравнение на 16, чтобы упростить его:
$4 - 2b + c = 0$

2. Для $x = 3$:
$P(3) = 3^6 + b(3)^5 + c(3)^4 = 0$
$729 + b(243) + c(81) = 0$
$729 + 243b + 81c = 0$
Разделим все уравнение на 81, чтобы упростить его:
$9 + 3b + c = 0$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $b$ и $c$: $$ \begin{cases} 4 - 2b + c = 0 \\ 9 + 3b + c = 0 \end{cases} $$

Выразим $c$ из первого уравнения: $c = 2b - 4$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $9 + 3b + (2b - 4) = 0$
$5 + 5b = 0$
$5b = -5$
$b = -1$

Теперь найдем $c$, подставив значение $b$ в выражение для $c$: $c = 2(-1) - 4 = -2 - 4 = -6$

Ответ: $b = -1$, $c = -6$

2) x-4 и x+5

Аналогично первому пункту, если многочлен $P(x)$ делится на $(x-4)$ и $(x+5)$, то числа $4$ и $-5$ являются его корнями. Это означает, что $P(4)=0$ и $P(-5)=0$.

Составим систему уравнений:

1. Для $x = 4$:
$P(4) = 4^6 + b(4)^5 + c(4)^4 = 0$
$4096 + b(1024) + c(256) = 0$
$4096 + 1024b + 256c = 0$
Разделим все уравнение на 256:
$16 + 4b + c = 0$

2. Для $x = -5$:
$P(-5) = (-5)^6 + b(-5)^5 + c(-5)^4 = 0$
$15625 + b(-3125) + c(625) = 0$
$15625 - 3125b + 625c = 0$
Разделим все уравнение на 625:
$25 - 5b + c = 0$

Получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} 16 + 4b + c = 0 \\ 25 - 5b + c = 0 \end{cases} $$

Выразим $c$ из первого уравнения: $c = -4b - 16$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $25 - 5b + (-4b - 16) = 0$
$9 - 9b = 0$
$9b = 9$
$b = 1$

Теперь найдем $c$: $c = -4(1) - 16 = -4 - 16 = -20$

Ответ: $b = 1$, $c = -20$