Страница 131 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

393. Найти такие числа $b$ и $c$, чтобы многочлен $x^6 + bx^5 + cx^4$ делился на:

1) $x + 2$ и $x - 3$;

2) $x - 4$ и $x + 5$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, если многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка, то число $a$ является корнем этого многочлена, то есть $P(a) = 0$.

Наш многочлен: $P(x) = x^6 + bx^5 + cx^4$.

1) x+2 и x-3

Если многочлен $P(x)$ делится на $(x+2)$ и $(x-3)$, то числа $-2$ и $3$ являются его корнями. Это означает, что $P(-2)=0$ и $P(3)=0$.

Составим систему уравнений, подставив эти значения в многочлен:

1. Для $x = -2$:
$P(-2) = (-2)^6 + b(-2)^5 + c(-2)^4 = 0$
$64 + b(-32) + c(16) = 0$
$64 - 32b + 16c = 0$
Разделим все уравнение на 16, чтобы упростить его:
$4 - 2b + c = 0$

2. Для $x = 3$:
$P(3) = 3^6 + b(3)^5 + c(3)^4 = 0$
$729 + b(243) + c(81) = 0$
$729 + 243b + 81c = 0$
Разделим все уравнение на 81, чтобы упростить его:
$9 + 3b + c = 0$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $b$ и $c$: $$ \begin{cases} 4 - 2b + c = 0 \\ 9 + 3b + c = 0 \end{cases} $$

Выразим $c$ из первого уравнения: $c = 2b - 4$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $9 + 3b + (2b - 4) = 0$
$5 + 5b = 0$
$5b = -5$
$b = -1$

Теперь найдем $c$, подставив значение $b$ в выражение для $c$: $c = 2(-1) - 4 = -2 - 4 = -6$

Ответ: $b = -1$, $c = -6$

2) x-4 и x+5

Аналогично первому пункту, если многочлен $P(x)$ делится на $(x-4)$ и $(x+5)$, то числа $4$ и $-5$ являются его корнями. Это означает, что $P(4)=0$ и $P(-5)=0$.

Составим систему уравнений:

1. Для $x = 4$:
$P(4) = 4^6 + b(4)^5 + c(4)^4 = 0$
$4096 + b(1024) + c(256) = 0$
$4096 + 1024b + 256c = 0$
Разделим все уравнение на 256:
$16 + 4b + c = 0$

2. Для $x = -5$:
$P(-5) = (-5)^6 + b(-5)^5 + c(-5)^4 = 0$
$15625 + b(-3125) + c(625) = 0$
$15625 - 3125b + 625c = 0$
Разделим все уравнение на 625:
$25 - 5b + c = 0$

Получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} 16 + 4b + c = 0 \\ 25 - 5b + c = 0 \end{cases} $$

Выразим $c$ из первого уравнения: $c = -4b - 16$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $25 - 5b + (-4b - 16) = 0$
$9 - 9b = 0$
$9b = 9$
$b = 1$

Теперь найдем $c$: $c = -4(1) - 16 = -4 - 16 = -20$

Ответ: $b = 1$, $c = -20$

394. При делении многочлена поочерёдно на двучлены $x+2$, $x-3$, $x+4$ в остатке получаются соответственно числа 6, 26, 12. Найти остаток при делении этого многочлена на $(x+2)(x-3)(x+4)$.

Обозначим многочлен через $P(x)$. Согласно теореме Безу (следствие из теоремы о делении многочленов с остатком), остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-k)$ равен значению этого многочлена в точке $k$, то есть $P(k)$.

Исходя из условий задачи, мы можем записать следующие равенства:

• При делении $P(x)$ на $x+2$ остаток равен 6, следовательно, $P(-2) = 6$.
• При делении $P(x)$ на $x-3$ остаток равен 26, следовательно, $P(3) = 26$.
• При делении $P(x)$ на $x+4$ остаток равен 12, следовательно, $P(-4) = 12$.

Нам необходимо найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на произведение $D(x) = (x+2)(x-3)(x+4)$. Степень этого делителя равна 3. По правилу деления многочленов, степень остатка $R(x)$ должна быть меньше степени делителя, то есть не выше 2. Поэтому остаток можно представить в общем виде как многочлен второй степени: $R(x) = ax^2 + bx + c$.

Процесс деления можно записать в виде тождества: $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где $Q(x)$ — это частное. Подставив выражения для $D(x)$ и $R(x)$, получим:

$P(x) = (x+2)(x-3)(x+4) \cdot Q(x) + ax^2 + bx + c$

Если подставить в это тождество корни делителя ($x=-2$, $x=3$, $x=-4$), то первый член в правой части $(D(x) \cdot Q(x))$ обратится в ноль. Таким образом, $P(k) = R(k)$ для каждого из этих корней. Это позволяет нам составить систему уравнений для нахождения коэффициентов $a, b, c$:

• При $x=-2$: $P(-2) = R(-2) \implies a(-2)^2 + b(-2) + c = 6 \implies 4a - 2b + c = 6$.
• При $x=3$: $P(3) = R(3) \implies a(3)^2 + b(3) + c = 26 \implies 9a + 3b + c = 26$.
• При $x=-4$: $P(-4) = R(-4) \implies a(-4)^2 + b(-4) + c = 12 \implies 16a - 4b + c = 12$.

Мы получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases} 4a - 2b + c = 6 & \text{(1)} \\ 9a + 3b + c = 26 & \text{(2)} \\ 16a - 4b + c = 12 & \text{(3)} \end{cases}$

Решим эту систему. Вычтем уравнение (1) из уравнений (2) и (3), чтобы избавиться от переменной $c$:

$(9a + 3b + c) - (4a - 2b + c) = 26 - 6 \implies 5a + 5b = 20 \implies a + b = 4$ (4).

$(16a - 4b + c) - (4a - 2b + c) = 12 - 6 \implies 12a - 2b = 6 \implies 6a - b = 3$ (5).

Теперь у нас есть более простая система из двух уравнений (4) и (5):

$\begin{cases} a + b = 4 \\ 6a - b = 3 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(a+b) + (6a-b) = 4+3 \implies 7a = 7$, откуда $a = 1$.

Подставим $a=1$ в уравнение (4): $1 + b = 4$, откуда $b = 3$.

Наконец, подставим найденные значения $a=1$ и $b=3$ в уравнение (1), чтобы найти $c$: $4(1) - 2(3) + c = 6 \implies 4 - 6 + c = 6 \implies -2 + c = 6$, откуда $c = 8$.

Коэффициенты остатка найдены: $a=1, b=3, c=8$. Следовательно, искомый остаток $R(x) = ax^2 + bx + c$ имеет вид $x^2 + 3x + 8$.

Ответ: $x^2 + 3x + 8$.

395. Доказать, что многочлен $x^{10} + bx^9 + cx^8$ делится на двучлены $x + a_1$ и $x + a_2$, где $a_1 \neq 0, a_2 \neq 0$, тогда и только тогда, когда $b = a_1 + a_2$, $c = a_1 a_2$.

Для доказательства утверждения "тогда и только тогда" необходимо доказать два взаимно обратных утверждения: необходимость и достаточность.

Доказательство необходимости (⇒)

Предположим, что многочлен $P(x) = x^{10} + bx^9 + cx^8$ делится на двучлены $x+a_1$ и $x+a_2$.

Согласно теореме Безу, если многочлен $P(x)$ делится на двучлен $x-k$, то $P(k)=0$. В нашем случае это означает, что $x = -a_1$ и $x = -a_2$ являются корнями многочлена $P(x)$. Следовательно, $P(-a_1) = 0$ и $P(-a_2) = 0$.

Подставим эти значения в выражение для $P(x)$:

$P(-a_1) = (-a_1)^{10} + b(-a_1)^9 + c(-a_1)^8 = a_1^{10} - ba_1^9 + ca_1^8 = 0$

$P(-a_2) = (-a_2)^{10} + b(-a_2)^9 + c(-a_2)^8 = a_2^{10} - ba_2^9 + ca_2^8 = 0$

Вынесем за скобки общие множители в каждом уравнении:

$a_1^8(a_1^2 - ba_1 + c) = 0$

$a_2^8(a_2^2 - ba_2 + c) = 0$

По условию задачи $a_1 \neq 0$ и $a_2 \neq 0$, следовательно, $a_1^8 \neq 0$ и $a_2^8 \neq 0$. Мы можем разделить каждое уравнение на соответствующий ненулевой множитель и получить систему уравнений:

$\begin{cases} a_1^2 - ba_1 + c = 0 \\ a_2^2 - ba_2 + c = 0 \end{cases}$

Эта система уравнений показывает, что $a_1$ и $a_2$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - bt + c = 0$.

По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Для уравнения $t^2 - bt + c = 0$ с корнями $a_1$ и $a_2$ имеем:

Сумма корней: $a_1 + a_2 = -(-b) = b$

Произведение корней: $a_1a_2 = c$

Таким образом, мы доказали, что если $P(x)$ делится на $x+a_1$ и $x+a_2$, то $b=a_1+a_2$ и $c=a_1a_2$.

Доказательство достаточности (⇐)

Предположим, что коэффициенты $b$ и $c$ удовлетворяют равенствам $b=a_1+a_2$ и $c=a_1a_2$.

Подставим эти выражения для $b$ и $c$ в исходный многочлен $P(x)$:

$P(x) = x^{10} + (a_1+a_2)x^9 + (a_1a_2)x^8$

Вынесем общий множитель $x^8$ за скобки:

$P(x) = x^8(x^2 + (a_1+a_2)x + a_1a_2)$

Рассмотрим выражение в скобках. Это приведенный квадратный трехчлен $Q(x) = x^2 + (a_1+a_2)x + a_1a_2$. По обратной теореме Виета, его корнями являются $-a_1$ и $-a_2$. Следовательно, его можно разложить на множители:

$x^2 + (a_1+a_2)x + a_1a_2 = (x - (-a_1))(x - (-a_2)) = (x+a_1)(x+a_2)$

Тогда многочлен $P(x)$ можно записать в виде:

$P(x) = x^8(x+a_1)(x+a_2)$

Из этого вида очевидно, что многочлен $P(x)$ делится нацело и на $x+a_1$, и на $x+a_2$.

Таким образом, мы доказали, что если $b=a_1+a_2$ и $c=a_1a_2$, то $P(x)$ делится на $x+a_1$ и $x+a_2$.

Поскольку доказаны и необходимость, и достаточность, исходное утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

396. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, а навстречу ему одновременно из пункта В в пункт А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в пункт В через 2 ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в пункт А через 4,5 ч после встречи. Сколько часов каждый был в пути?

Пусть $v_м$ — скорость мотоциклиста (в км/ч), а $v_в$ — скорость велосипедиста (в км/ч). Обозначим время, через которое они встретились после начала движения, как $t$ (в часах).

До момента встречи, который произошел в некоторой точке С, мотоциклист проехал расстояние $S_{AC} = v_м \cdot t$, а велосипедист проехал расстояние $S_{BC} = v_в \cdot t$.

Согласно условию, после встречи мотоциклист проехал оставшееся расстояние $S_{BC}$ до пункта В за 2 часа. Следовательно, можно записать: $S_{BC} = v_м \cdot 2$.

Аналогично, велосипедист после встречи проехал оставшееся расстояние $S_{AC}$ до пункта А за 4,5 часа. Следовательно: $S_{AC} = v_в \cdot 4.5$.

Теперь у нас есть две пары выражений для одних и тех же расстояний. Мы можем составить систему уравнений:
$v_м \cdot t = v_в \cdot 4.5$ (1)
$v_в \cdot t = v_м \cdot 2$ (2)

Из каждого уравнения выразим отношение скоростей $\frac{v_м}{v_в}$:
Из уравнения (1): $\frac{v_м}{v_в} = \frac{4.5}{t}$
Из уравнения (2): $\frac{v_м}{v_в} = \frac{t}{2}$

Поскольку левые части этих выражений равны, мы можем приравнять и правые части:
$\frac{4.5}{t} = \frac{t}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $t$, используя свойство пропорции:
$t \cdot t = 4.5 \cdot 2$
$t^2 = 9$
$t = \sqrt{9} = 3$ часа (время не может быть отрицательным).

Таким образом, время от начала движения до встречи составляет 3 часа. Теперь мы можем найти общее время в пути для каждого участника движения.

Полное время в пути для мотоциклиста равно времени до встречи плюс время после встречи:
$T_м = t + 2 = 3 + 2 = 5$ часов.

Полное время в пути для велосипедиста также равно времени до встречи плюс время после встречи:
$T_в = t + 4.5 = 3 + 4.5 = 7.5$ часов.

Ответ: мотоциклист был в пути 5 часов, а велосипедист — 7,5 часов.

397. С помощью схемы Горнера найти целые корни многочлена:

1) $P(x)=x^4+4x^3-25x^2-16x+84$;

2) $P(x)=x^5-2x^4+3x^3-10x^2-40x+48$.

1) $P(x) = x^4 + 4x^3 - 25x^2 - 16x + 84$

Согласно следствию из теоремы Безу, целыми корнями многочлена с целыми коэффициентами могут быть только делители его свободного члена. В данном случае свободный член равен 84.
Делители числа 84: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 7, \pm 12, \pm 14, \pm 21, \pm 28, \pm 42, \pm 84 $.
Проверим некоторые из этих делителей с помощью схемы Горнера. Коэффициенты многочлена: 1, 4, -25, -16, 84.

Проверим корень $x=2$:

Остаток равен 0, значит, $x=2$ является корнем. Коэффициенты нового многочлена (частного) равны 1, 6, -13, -42.
$P(x) = (x-2)(x^3 + 6x^2 - 13x - 42)$.
Теперь найдем корни многочлена $Q_1(x) = x^3 + 6x^2 - 13x - 42$. Его целые корни должны быть делителями числа -42.

Проверим корень $x=-2$ для $Q_1(x)$:

Остаток равен 0, значит, $x=-2$ также является корнем.
$P(x) = (x-2)(x+2)(x^2 + 4x - 21)$.
Оставшиеся корни являются корнями квадратного уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.
Решим его. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -21, сумма равна -4. Это числа -7 и 3.
Или по формуле дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2}$.
$x_3 = \frac{-4 - 10}{2} = -7$.
$x_4 = \frac{-4 + 10}{2} = 3$.
Таким образом, все целые корни многочлена найдены.

Ответ: -7, -2, 2, 3.

2) $P(x) = x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 10x^2 - 40x + 48$

Целые корни многочлена должны быть делителями свободного члена, равного 48.
Делители числа 48: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48 $.
Коэффициенты многочлена: 1, -2, 3, -10, -40, 48.

Проверим корень $x=1$:

Остаток равен 0, значит, $x=1$ является корнем.
$P(x) = (x-1)(x^4 - x^3 + 2x^2 - 8x - 48)$.
Теперь ищем корни многочлена $Q_1(x) = x^4 - x^3 + 2x^2 - 8x - 48$. Его целые корни должны быть делителями числа -48.

Проверим корень $x=-2$ для $Q_1(x)$:

Остаток равен 0, значит, $x=-2$ является корнем.
$P(x) = (x-1)(x+2)(x^3 - 3x^2 + 8x - 24)$.
Теперь решим уравнение $x^3 - 3x^2 + 8x - 24 = 0$.
Можно найти корни по схеме Горнера (делители -24), либо попробовать разложить на множители методом группировки:
$x^2(x - 3) + 8(x - 3) = 0$
$(x^2 + 8)(x - 3) = 0$
Отсюда получаем два уравнения:
1) $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Это целый корень.
2) $x^2 + 8 = 0 \implies x^2 = -8$. Это уравнение не имеет действительных (а значит и целых) корней.
Следовательно, мы нашли все целые корни исходного многочлена.

Ответ: -2, 1, 3.

398. С помощью схемы Горнера разложить по степеням $x - c$ многочлен:

1) $P(x) = x^3 - 5x^2 + 6x - 7$, $c = 2$;

2) $P(x) = x^4 - 8x^3 - 17x^2 - 5$, $c = -2$.

Для разложения многочлена $P(x)$ по степеням $(x-c)$ используется обобщенная схема Горнера. Разложение имеет вид:

$P(x) = A_n(x-c)^n + A_{n-1}(x-c)^{n-1} + \dots + A_1(x-c) + A_0$.

Коэффициенты $A_0, A_1, \dots, A_n$ находятся как остатки от последовательного деления многочлена $P(x)$ и получаемых частных на двучлен $(x-c)$. Этот процесс удобно выполнять в виде таблицы.

Разложим многочлен $P(x) = x^3 - 5x^2 + 6x - 7$ по степеням $(x-2)$. Здесь $c = 2$.

Коэффициенты многочлена: $1, -5, 6, -7$.

Составим таблицу для схемы Горнера. В первой строке записываем коэффициенты исходного многочлена. Каждая следующая строка таблицы получается делением многочлена, коэффициенты которого находятся в предыдущей строке, на $(x-2)$. Остаток (последний элемент строки) является очередным коэффициентом разложения, начиная с $A_0$.

Из таблицы получаем коэффициенты разложения:

$A_0 = -7$

$A_1 = -2$

$A_2 = 1$

$A_3 = 1$

Таким образом, разложение многочлена $P(x)$ по степеням $(x-2)$ имеет вид:

Ответ: $P(x) = (x-2)^3 + (x-2)^2 - 2(x-2) - 7$.

Разложим многочлен $P(x) = x^4 - 8x^3 - 17x^2 - 5$ по степеням $(x+2)$. Здесь $c = -2$.

Запишем многочлен в полном виде, добавив член с $x$ с нулевым коэффициентом: $P(x) = x^4 - 8x^3 - 17x^2 + 0x - 5$.

Коэффициенты многочлена: $1, -8, -17, 0, -5$.

Составим таблицу для схемы Горнера, выполняя деление на $(x-(-2))=(x+2)$:

Из таблицы получаем коэффициенты разложения:

$A_0 = 7$

$A_1 = -60$

$A_2 = 55$

$A_3 = -16$

$A_4 = 1$

Таким образом, разложение многочлена $P(x)$ по степеням $(x+2)$ имеет вид:

Ответ: $P(x) = (x+2)^4 - 16(x+2)^3 + 55(x+2)^2 - 60(x+2) + 7$.

399. Решить уравнение:

1) $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0;$

2) $2x^4 + x^3 - 10x^2 - x + 2 = 0;$

3) $(x - 1)x(x + 1)(x + 2) = 24;$

4) $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3.$

1) $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$

Данное уравнение является симметричным (возвратным) урав

Решить систему уравнений (400—401).

400. 1) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2}, \\ x^2 + 2y^2 = 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}, \\ xy^2 - x^2y = 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 21, \\ y^2 - 2xy + 15 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 3, \\ 2x^2 - 2xy - y^2 = -6. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2} \\ x^2 + 2y^2 = 6 \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение. Пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2t$ (где $t \neq 0$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(2y)^2 + 2y^2 = 6$

$4y^2 + 2y^2 = 6$

$6y^2 = 6$

$y^2 = 1$, откуда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2 \cdot 1 = 2$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Получили две пары решений: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $y = 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 + 2(2x)^2 = 6$

$x^2 + 2(4x^2) = 6$

$x^2 + 8x^2 = 6$

$9x^2 = 6$

$x^2 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$, откуда $x_3 = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $x_4 = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Если $x_3 = \frac{\sqrt{6}}{3}$, то $y_3 = 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Если $x_4 = -\frac{\sqrt{6}}{3}$, то $y_4 = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{3}) = -\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Получили еще две пары решений: $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{2\sqrt{6}}{3})$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{2\sqrt{6}}{3})$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ xy^2 - x^2y = 6 \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем оба уравнения.

Первое уравнение: $\frac{y - x}{xy} = \frac{1}{6}$.

Второе уравнение: $xy(y - x) = 6$.

Сделаем замену переменных. Пусть $u = y - x$ и $v = xy$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} \frac{u}{v} = \frac{1}{6} \\ v \cdot u = 6 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 6u$.

Подставим во второе уравнение:

$(6u) \cdot u = 6$

$6u^2 = 6$

$u^2 = 1$, откуда $u_1 = 1$ и $u_2 = -1$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 1$.

Тогда $v = 6u = 6$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$ \begin{cases} y - x = 1 \\ xy = 6 \end{cases} $

Из первого уравнения $y = x + 1$. Подставим во второе:

$x(x + 1) = 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 + 1 = 3$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -3 + 1 = -2$.

Получили две пары решений: $(2, 3)$ и $(-3, -2)$.

Случай 2: $u = -1$.

Тогда $v = 6u = -6$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$ \begin{cases} y - x = -1 \\ xy = -6 \end{cases} $

Из первого уравнения $y = x - 1$. Подставим во второе:

$x(x - 1) = -6$

$x^2 - x + 6 = 0$

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $(2, 3)$, $(-3, -2)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 21 \\ y^2 - 2xy + 15 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $2xy$: $2xy = y^2 + 15$. Отсюда $xy = \frac{y^2 + 15}{2}$.

Подставим выражение для $xy$ в первое уравнение:

$x^2 - \frac{y^2 + 15}{2} + y^2 = 21$

Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2x^2 - (y^2 + 15) + 2y^2 = 42$

$2x^2 - y^2 - 15 + 2y^2 = 42$

$2x^2 + y^2 = 57$

Из полученного уравнения выразим $y^2$: $y^2 = 57 - 2x^2$.

Подставим это в выражение $2xy = y^2 + 15$:

$2xy = (57 - 2x^2) + 15$

$2xy = 72 - 2x^2$

$xy = 36 - x^2$

Предполагая, что $x \neq 0$, выразим $y = \frac{36 - x^2}{x}$.

Подставим это выражение для $y$ в $y^2 = 57 - 2x^2$:

$(\frac{36 - x^2}{x})^2 = 57 - 2x^2$

$\frac{1296 - 72x^2 + x^4}{x^2} = 57 - 2x^2$

$1296 - 72x^2 + x^4 = 57x^2 - 2x^4$

$3x^4 - 129x^2 + 1296 = 0$

Разделим на 3: $x^4 - 43x^2 + 432 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Пусть $z = x^2$ ($z \ge 0$).

$z^2 - 43z + 432 = 0$

Дискриминант $D = (-43)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 432 = 1849 - 1728 = 121 = 11^2$.

$z_1 = \frac{43 - 11}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$z_2 = \frac{43 + 11}{2} = \frac{54}{2} = 27$

Оба корня положительные. Вернемся к $x$.

Случай 1: $x^2 = 16$.

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{36 - 4^2}{4} = \frac{36-16}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = \frac{36 - (-4)^2}{-4} = \frac{36-16}{-4} = \frac{20}{-4} = -5$.

Получили решения: $(4, 5)$ и $(-4, -5)$.

Случай 2: $x^2 = 27$.

$x_3 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, $x_4 = -\sqrt{27} = -3\sqrt{3}$.

Если $x_3 = 3\sqrt{3}$, то $y_3 = \frac{36 - (3\sqrt{3})^2}{3\sqrt{3}} = \frac{36-27}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Если $x_4 = -3\sqrt{3}$, то $y_4 = \frac{36 - (-3\sqrt{3})^2}{-3\sqrt{3}} = \frac{36-27}{-3\sqrt{3}} = \frac{9}{-3\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.

Получили решения: $(3\sqrt{3}, \sqrt{3})$ и $(-3\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

Ответ: $(4, 5)$, $(-4, -5)$, $(3\sqrt{3}, \sqrt{3})$, $(-3\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 3 \\ 2x^2 - 2xy - y^2 = -6 \end{cases} $

Это система с однородными левыми частями. Умножим первое уравнение на 2, чтобы правые части стали противоположными:

$2(x^2 - 3xy + 2y^2) = 2 \cdot 3 \implies 2x^2 - 6xy + 4y^2 = 6$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(2x^2 - 6xy + 4y^2) + (2x^2 - 2xy - y^2) = 6 + (-6)$

$4x^2 - 8xy + 3y^2 = 0$

Мы получили однородное уравнение. Разделим его на $y^2$ (предполагая, что $y \neq 0$; случай $y=0$ приводит к $x=0$, что не является решением исходной системы).

$4(\frac{x}{y})^2 - 8(\frac{x}{y}) + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$4t^2 - 8t + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

$t_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{8} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{8} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $y = 2x$.

Подставим в первое уравнение исходной системы:

$x^2 - 3x(2x) + 2(2x)^2 = 3$

$x^2 - 6x^2 + 2(4x^2) = 3$

$x^2 - 6x^2 + 8x^2 = 3$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$, откуда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2 \cdot 1 = 2$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Получили решения: $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$, откуда $x = \frac{3}{2}y$.

Подставим в первое уравнение исходной системы:

$(\frac{3}{2}y)^2 - 3(\frac{3}{2}y)y + 2y^2 = 3$

$\frac{9}{4}y^2 - \frac{9}{2}y^2 + 2y^2 = 3$

Приведем к общему знаменателю 4:

$9y^2 - 18y^2 + 8y^2 = 12$

$-y^2 = 12$

$y^2 = -12$. В этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(1, 2)$, $(-1, -2)$.

401. $\begin{cases} 9x^2 - 4y^2 + 5x + 10 = 0, \\ 8x^2 - 3y^2 + 5y + 10 = 0. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений вычтем второе уравнение из первого:

$$ (9x^2 - 4y^2 + 5x + 10) - (8x^2 - 3y^2 + 5y + 10) = 0 $$

$$ 9x^2 - 8x^2 - 4y^2 + 3y^2 + 5x - 5y + 10 - 10 = 0 $$

$$ x^2 - y^2 + 5x - 5y = 0 $$

Сгруппируем слагаемые и разложим полученное выражение на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$ (x^2 - y^2) + (5x - 5y) = 0 $$

$$ (x - y)(x + y) + 5(x - y) = 0 $$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$$ (x - y)(x + y + 5) = 0 $$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: $x - y = 0$

Из этого уравнения следует, что $y = x$. Подставим это выражение в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$$ 8x^2 - 3x^2 + 5x + 10 = 0 $$

$$ 5x^2 + 5x + 10 = 0 $$

Разделим уравнение на 5:

$$ x^2 + x + 2 = 0 $$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 $$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), в этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $x + y + 5 = 0$

Из этого уравнения следует, что $y = -x - 5$. Подставим это выражение во второе исходное уравнение:

$$ 8x^2 - 3(-x - 5)^2 + 5(-x - 5) + 10 = 0 $$

$$ 8x^2 - 3(x^2 + 10x + 25) - 5x - 25 + 10 = 0 $$

$$ 8x^2 - 3x^2 - 30x - 75 - 5x - 15 = 0 $$

$$ 5x^2 - 35x - 90 = 0 $$

Разделим уравнение на 5:

$$ x^2 - 7x - 18 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение, например, разложением на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -18, а сумма равна 7. Это числа 9 и -2.

$$ (x - 9)(x + 2) = 0 $$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 9$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = -x - 5$:

Если $x_1 = 9$, то $y_1 = -9 - 5 = -14$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -(-2) - 5 = 2 - 5 = -3$.

Таким образом, система имеет два решения: $(-2, -3)$ и $(9, -14)$.

Ответ: $(-2, -3)$, $(9, -14)$.