Страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (357–362).

357. 1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 74, \\ x + y = 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 32, \\ x - y = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x + y = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 16, \\ x - y = 1. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 74 \\ x + y = 12 \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим переменную y из второго уравнения:

$y = 12 - x$

Подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$x^2 + (12 - x)^2 = 74$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + 144 - 24x + x^2 = 74$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть уравнения:

$2x^2 - 24x + 144 - 74 = 0$

$2x^2 - 24x + 70 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - 12x + 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 35. Легко подобрать корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого корня x:

При $x_1 = 5$, $y_1 = 12 - 5 = 7$.

При $x_2 = 7$, $y_2 = 12 - 7 = 5$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: (5; 7), (7; 5).

2) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 32 \\ x - y = 4 \end{cases} $$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для преобразования первого уравнения:

$(x - y)(x + y) = 32$

Из второго уравнения системы нам известно, что $x - y = 4$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$4(x + y) = 32$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x + y = 8$

Теперь мы имеем новую, более простую систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 8 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную y:

$(x - y) + (x + y) = 4 + 8$

$2x = 12$

$x = 6$

Подставим найденное значение x в любое из уравнений простой системы, например, в $x + y = 8$:

$6 + y = 8$

$y = 8 - 6 = 2$

Решением системы является одна пара чисел.

Ответ: (6; 2).

3) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 4 \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим y:

$y = 4 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (4 - x)^2 = 10$

Раскроем скобки:

$x^2 + 16 - 8x + x^2 = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 8x + 16 - 10 = 0$

$2x^2 - 8x + 6 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения y:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 4 - 1 = 3$.

При $x_2 = 3$, $y_2 = 4 - 3 = 1$.

Система имеет два решения.

Ответ: (1; 3), (3; 1).

4) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 16 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

Разложим левую часть первого уравнения по формуле разности квадратов:

$(x - y)(x + y) = 16$

Из второго уравнения известно, что $x - y = 1$. Подставим это значение в первое уравнение:

$1 \cdot (x + y) = 16$

$x + y = 16$

Теперь решаем систему двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 16 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$(x - y) + (x + y) = 1 + 16$

$2x = 17$

$x = \frac{17}{2}$

Подставим значение x в уравнение $x + y = 16$:

$\frac{17}{2} + y = 16$

$y = 16 - \frac{17}{2} = \frac{32}{2} - \frac{17}{2} = \frac{15}{2}$

Решением системы является одна пара чисел.

Ответ: $(\frac{17}{2}; \frac{15}{2})$.

358. 1) $\begin{cases} 2x^2 - 2xy + x = -9, \\ 2y - 3x = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 6xy + 8y^2 = 91, \\ x + 3y - 10 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x - 1)(y - 1) = 2, \\ x + y = 5; \end{cases}$

4) $\begin{cases} (x - 2)(y + 1) = 1, \\ x - y = 3. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}2x^2 - 2xy + x = -9 \\2y - 3x = 1\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$2y = 3x + 1$

$y = \frac{3x + 1}{2}$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$2x^2 - 2x\left(\frac{3x + 1}{2}\right) + x = -9$

Упростим полученное уравнение:

$2x^2 - x(3x + 1) + x = -9$

$2x^2 - 3x^2 - x + x = -9$

$-x^2 = -9$

$x^2 = 9$

Отсюда находим два значения для $x$:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$.

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = \frac{3(3) + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = \frac{3(-3) + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Таким образом, мы получили две пары решений.

Ответ: $(3; 5)$, $(-3; -4)$.

2) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}x^2 + 6xy + 8y^2 = 91 \\x + 3y - 10 = 0\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 10 - 3y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(10 - 3y)^2 + 6(10 - 3y)y + 8y^2 = 91$

Раскроем скобки и упростим:

$100 - 60y + 9y^2 + 60y - 18y^2 + 8y^2 = 91$

Приведем подобные члены:

$100 + (9 - 18 + 8)y^2 = 91$

$100 - y^2 = 91$

$y^2 = 100 - 91$

$y^2 = 9$

Отсюда находим два значения для $y$:

$y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$.

Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 10 - 3(3) = 10 - 9 = 1$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 10 - 3(-3) = 10 + 9 = 19$.

Таким образом, мы получили два решения.

Ответ: $(1; 3)$, $(19; -3)$.

3) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}(x - 1)(y - 1) = 2 \\x + y = 5\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 5 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x - 1)((5 - x) - 1) = 2$

$(x - 1)(4 - x) = 2$

Раскроем скобки:

$4x - x^2 - 4 + x = 2$

Приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону:

$-x^2 + 5x - 6 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, произведение равно 6. Корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $y$.

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$.

Получили две пары решений.

Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$.

4) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}(x - 2)(y + 1) = 1 \\x - y = 3\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 3$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$((y + 3) - 2)(y + 1) = 1$

Упростим выражение в первых скобках:

$(y + 1)(y + 1) = 1$

$(y + 1)^2 = 1$

Это уравнение распадается на два:

$y + 1 = 1$ или $y + 1 = -1$.

Из первого уравнения получаем $y_1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $y_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$.

Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 3 = 3$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 3 = 1$.

Получили два решения.

Ответ: $(3; 0)$, $(1; -2)$.

359. 1) $\begin{cases} x + y = 3, \\ xy = -40; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 7, \\ xy = 18. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}x + y = 3 \\xy = -40\end{cases}$$

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = 3 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x(3 - x) = -40$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$3x - x^2 = -40$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или формулой корней через дискриминант. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

Здесь коэффициенты $a = 1$, $b = -3$, $c = -40$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных значений $x$, используя выражение $y = 3 - x$:

Если $x_1 = 8$, то $y_1 = 3 - 8 = -5$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = 3 - (-5) = 3 + 5 = 8$.

Таким образом, система имеет два решения в виде пар чисел $(x; y)$.

Ответ: $(8; -5), (-5; 8)$.

2) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}x - y = 7 \\xy = 18\end{cases}$$

Применим метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$:

$x = 7 + y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(7 + y)y = 18$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$7y + y^2 = 18$

$y^2 + 7y - 18 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно переменной $y$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

Здесь коэффициенты $a = 1$, $b = 7$, $c = -18$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения для $y$ по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя выражение $x = 7 + y$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 7 + 2 = 9$.

Если $y_2 = -9$, то $x_2 = 7 + (-9) = 7 - 9 = -2$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(9; 2), (-2; -9)$.

360. 1) $\begin{cases} xy - x + y = 7, \\ xy + x - y = 13; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy - 2(x + y) = 2, \\ xy + x + y = 29. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} xy - x + y = 7 \\ xy + x - y = 13 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:
$(xy - x + y) + (xy + x - y) = 7 + 13$
$2xy = 20$
$xy = 10$

Вычтем из второго уравнения первое:
$(xy + x - y) - (xy - x + y) = 13 - 7$
$xy + x - y - xy + x - y = 6$
$2x - 2y = 6$
$x - y = 3$

Получим новую, более простую систему уравнений:
$\begin{cases} xy = 10 \\ x - y = 3 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = y + 3$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$(y + 3)y = 10$
$y^2 + 3y - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. Корнями уравнения являются числа $2$ и $-5$.
$y_1 = 2$, $y_2 = -5$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = y + 3$:
Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$.
Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5 + 3 = -2$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5; 2), (-2; -5)$.

2)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} xy - 2(x + y) = 2 \\ xy + x + y = 29 \end{cases}$

Эта система симметрична относительно переменных $x$ и $y$. Введем новые переменные для упрощения.
Пусть $a = xy$ и $b = x + y$.

Подставим новые переменные в исходную систему:
$\begin{cases} a - 2b = 2 \\ a + b = 29 \end{cases}$

Мы получили систему линейных уравнений относительно $a$ и $b$. Решим ее. Вычтем из второго уравнения первое:
$(a + b) - (a - 2b) = 29 - 2$
$3b = 27$
$b = 9$

Подставим значение $b$ в любое из уравнений, например, во второе:
$a + 9 = 29$
$a = 20$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы имеем:
$xy = a = 20$
$x + y = b = 9$
Получили систему:
$\begin{cases} x + y = 9 \\ xy = 20 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 9t + 20 = 0$.
Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, корни равны $4$ и $5$.
$t_1 = 4$, $t_2 = 5$.

Это означает, что пары $(x, y)$ могут быть $(4, 5)$ или $(5, 4)$.

Ответ: $(4; 5), (5; 4)$.

361. 1) $\begin{cases} y - x = 1, \\ x^3 - 4xy + 5y = -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 2, \\ 2x^3 + 9xy + 25y + 44 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - y = 1, \\ 6x^2y + xy - y = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y - x = 2, \\ 2x^3y + 9x^2y - 5xy = 0. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} y - x = 1 \\ x^3 - 4xy + 5y = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим y через x:

$y = x + 1$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^3 - 4x(x+1) + 5(x+1) = -1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^3 - 4x^2 - 4x + 5x + 5 = -1$

$x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$

Это кубическое уравнение. Его целые корни могут быть среди делителей свободного члена 6, то есть $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$. Методом подбора находим три корня: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения y, используя формулу $y = x + 1$:

1. При $x_1 = -1$, $y_1 = -1 + 1 = 0$. Получаем решение $(-1, 0)$.

2. При $x_2 = 2$, $y_2 = 2 + 1 = 3$. Получаем решение $(2, 3)$.

3. При $x_3 = 3$, $y_3 = 3 + 1 = 4$. Получаем решение $(3, 4)$.

Ответ: $(-1, 0), (2, 3), (3, 4)$.

2) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x^3 + 9xy + 25y + 44 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим x через y:

$x = y + 2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(y+2)^3 + 9(y+2)y + 25y + 44 = 0$

Раскроем скобки: $2(y^3 + 6y^2 + 12y + 8) + 9y^2 + 18y + 25y + 44 = 0$

$2y^3 + 12y^2 + 24y + 16 + 9y^2 + 18y + 25y + 44 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2y^3 + 21y^2 + 67y + 60 = 0$

Подбором находим один из корней этого кубического уравнения. Пробуем делители свободного члена 60. Корень $y_1 = -4$.

Разделим многочлен $2y^3 + 21y^2 + 67y + 60$ на $(y+4)$ и получим квадратный трехчлен $2y^2 + 13y + 15$.

Теперь решаем уравнение $(y+4)(2y^2 + 13y + 15) = 0$.

Решим квадратное уравнение $2y^2 + 13y + 15 = 0$.

Дискриминант $\Delta = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.

Корни: $y_2 = \frac{-13 - 7}{4} = -5$ и $y_3 = \frac{-13 + 7}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Найдем соответствующие значения x по формуле $x = y + 2$:

1. При $y_1 = -4$, $x_1 = -4 + 2 = -2$. Решение $(-2, -4)$.

2. При $y_2 = -5$, $x_2 = -5 + 2 = -3$. Решение $(-3, -5)$.

3. При $y_3 = -3/2$, $x_3 = -3/2 + 2 = 1/2$. Решение $(1/2, -3/2)$.

Ответ: $(-2, -4), (-3, -5), (1/2, -3/2)$.

3) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ 6x^2y + xy - y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим y через x:

$y = x - 1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$6x^2(x-1) + x(x-1) - (x-1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)(6x^2 + x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2. $6x^2 + x - 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни: $x_2 = \frac{-1 - 5}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$ и $x_3 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Найдем соответствующие значения y по формуле $y = x - 1$:

1. При $x_1 = 1$, $y_1 = 1 - 1 = 0$. Решение $(1, 0)$.

2. При $x_2 = -1/2$, $y_2 = -1/2 - 1 = -3/2$. Решение $(-1/2, -3/2)$.

3. При $x_3 = 1/3$, $y_3 = 1/3 - 1 = -2/3$. Решение $(1/3, -2/3)$.

Ответ: $(1, 0), (-1/2, -3/2), (1/3, -2/3)$.

4) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} y - x = 2 \\ 2x^3y + 9x^2y - 5xy = 0 \end{cases}$

Во втором уравнении вынесем общий множитель xy за скобки:

$xy(2x^2 + 9x - 5) = 0$

Это уравнение распадается на три случая:

1. $x = 0$. Подставим в первое уравнение системы: $y - 0 = 2 \implies y = 2$. Получаем решение $(0, 2)$.

2. $y = 0$. Подставим в первое уравнение системы: $0 - x = 2 \implies x = -2$. Получаем решение $(-2, 0)$.

3. $2x^2 + 9x - 5 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $\Delta = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_3 = \frac{-9 - 11}{4} = \frac{-20}{4} = -5$ и $x_4 = \frac{-9 + 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Для каждого из этих корней найдем соответствующее значение y из первого уравнения $y = x + 2$:

• Если $x_3 = -5$, то $y_3 = -5 + 2 = -3$. Получаем решение $(-5, -3)$.

• Если $x_4 = 1/2$, то $y_4 = 1/2 + 2 = 5/2$. Получаем решение $(1/2, 5/2)$.

Всего система имеет четыре решения.

Ответ: $(0, 2), (-2, 0), (-5, -3), (1/2, 5/2)$.

362. 1) $\begin{cases} x - y = 2, \\ x^4 - 3yx^2 - 4y^2 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 2, \\ 2x^4 - 5x^2y + 3y^2 = 0. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^4 - 3yx^2 - 4y^2 = 0 \end{cases} $

Второе уравнение системы, $x^4 - 3yx^2 - 4y^2 = 0$, является однородным относительно $x^2$ и $y$. Чтобы его решить, можно рассматривать его как квадратное уравнение относительно переменной $x^2$. Пусть $t = x^2$, тогда уравнение примет вид:
$t^2 - 3yt - 4y^2 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$, используя формулу для корней квадратного уравнения (где $y$ выступает в роли параметра):
$t = \frac{-(-3y) \pm \sqrt{(-3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4y^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{3y \pm \sqrt{9y^2 + 16y^2}}{2} = \frac{3y \pm \sqrt{25y^2}}{2} = \frac{3y \pm 5|y|}{2}$

Так как $t = x^2$, то $t$ должно быть неотрицательным ($t \ge 0$). Рассмотрим два случая в зависимости от знака $y$.

Случай 1: $y \ge 0$.
В этом случае $|y| = y$.
$t = \frac{3y \pm 5y}{2}$
Получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = \frac{3y+5y}{2} = 4y$
$t_2 = \frac{3y-5y}{2} = -y$
Поскольку $y \ge 0$, то $t_1 = 4y \ge 0$, что допустимо. А $t_2 = -y \le 0$. Равенство $x^2 = -y$ возможно только при $y=0$, что влечет $x=0$. Но пара $(0,0)$ не удовлетворяет первому уравнению системы ($0-0 \ne 2$). Значит, в этом случае остается только одно соотношение: $x^2 = 4y$.

Решим систему:
$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 = 4y \end{cases} $
Из первого уравнения $y = x - 2$. Подставим во второе:
$x^2 = 4(x - 2)$
$x^2 - 4x + 8 = 0$
Дискриминант этого уравнения $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$. Так как $D < 0$, действительных решений в этом случае нет.

Случай 2: $y < 0$.
В этом случае $|y| = -y$.
$t = \frac{3y \pm 5(-y)}{2} = \frac{3y \mp 5y}{2}$
Получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = \frac{3y-5y}{2} = -y$
$t_2 = \frac{3y+5y}{2} = 4y$
Поскольку $y < 0$, то $t_1 = -y > 0$, что допустимо. А $t_2 = 4y < 0$, что невозможно для $x^2$. Таким образом, остается соотношение $x^2 = -y$.

Решим систему:
$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 = -y \end{cases} $
Из первого уравнения $y = x - 2$. Подставим во второе:
$x^2 = -(x-2)$
$x^2 = -x + 2$
$x^2 + x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение легко решается разложением на множители: $(x+2)(x-1) = 0$.
Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y=x-2$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 - 2 = -1$. Проверяем условие $y < 0$: $-1 < 0$. Условие выполняется. Получаем решение $(1, -1)$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 - 2 = -4$. Проверяем условие $y < 0$: $-4 < 0$. Условие выполняется. Получаем решение $(-2, -4)$.

Ответ: $(1, -1), (-2, -4)$.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^4 - 5x^2y + 3y^2 = 0 \end{cases} $

Второе уравнение, $2x^4 - 5x^2y + 3y^2 = 0$, можно рассматривать как однородное уравнение второй степени относительно $x^2$ и $y$.

Проверим, может ли $y$ быть равным нулю. Если $y=0$, второе уравнение примет вид $2x^4 = 0$, откуда $x=0$. Пара $(0,0)$ не является решением системы, так как $x+y=0+0=0 \ne 2$. Следовательно, $y \ne 0$. Мы можем разделить второе уравнение на $y^2$:
$2\frac{x^4}{y^2} - 5\frac{x^2y}{y^2} + 3\frac{y^2}{y^2} = 0$
$2\left(\frac{x^2}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x^2}{y}\right) + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x^2}{y}$. Получим квадратное уравнение:
$2t^2 - 5t + 3 = 0$

Найдем его корни. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
$t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$
$t_1 = \frac{5+1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$t_2 = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Возвращаемся к исходным переменным, что приводит к двум независимым случаям.

Случай 1: $\frac{x^2}{y} = \frac{3}{2}$
Отсюда $2x^2 = 3y$. Решим систему:
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^2 = 3y \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y = 2-x$ и подставим во второе:
$2x^2 = 3(2-x)$
$2x^2 = 6 - 3x$
$2x^2 + 3x - 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9+48}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{57}}{4}$
Находим соответствующие значения $y=2-x$:
Для $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{57}}{4}$, $y_1 = 2 - \frac{-3 + \sqrt{57}}{4} = \frac{8 - (-3 + \sqrt{57})}{4} = \frac{11 - \sqrt{57}}{4}$.
Для $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{57}}{4}$, $y_2 = 2 - \frac{-3 - \sqrt{57}}{4} = \frac{8 - (-3 - \sqrt{57})}{4} = \frac{11 + \sqrt{57}}{4}$.
Получены две пары решений: $(\frac{-3 + \sqrt{57}}{4}, \frac{11 - \sqrt{57}}{4})$ и $(\frac{-3 - \sqrt{57}}{4}, \frac{11 + \sqrt{57}}{4})$.

Случай 2: $\frac{x^2}{y} = 1$
Отсюда $x^2 = y$. Решим систему:
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 = y \end{cases} $
Подставим второе уравнение в первое:
$x + x^2 = 2$
$x^2 + x - 2 = 0$
Разложим на множители: $(x+2)(x-1) = 0$.
Корни: $x_3 = 1$ и $x_4 = -2$.
Находим соответствующие значения $y$ из уравнения $y=x^2$:
Для $x_3 = 1$, $y_3 = 1^2 = 1$.
Для $x_4 = -2$, $y_4 = (-2)^2 = 4$.
Получены еще две пары решений: $(1, 1)$ и $(-2, 4)$.

Ответ: $(\frac{-3 + \sqrt{57}}{4}, \frac{11 - \sqrt{57}}{4}), (\frac{-3 - \sqrt{57}}{4}, \frac{11 + \sqrt{57}}{4}), (1, 1), (-2, 4)$.

363. Произведение двух чисел равно 135, а их разность равна 6.

Найти эти числа.

Обозначим два неизвестных числа как $x$ и $y$. Согласно условиям задачи, мы можем составить систему уравнений:

$\begin{cases} x \cdot y = 135 \\ x - y = 6 \end{cases}$

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 6$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(y + 6) \cdot y = 135$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2 + by + c = 0$:

$y^2 + 6y = 135$

$y^2 + 6y - 135 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-135) = 36 + 540 = 576$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 24}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 24}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15$

Мы нашли два возможных значения для второго числа ($y$). Теперь для каждого из них найдем соответствующее значение первого числа ($x$), используя формулу $x = y + 6$.

1. Если $y_1 = 9$

$x_1 = 9 + 6 = 15$

Первая пара чисел — это (15; 9).

2. Если $y_2 = -15$

$x_2 = -15 + 6 = -9$

Вторая пара чисел — это (-9; -15).

Проверим найденные решения.

Проверка для пары (15; 9):
Произведение: $15 \cdot 9 = 135$ (верно).
Разность: $15 - 9 = 6$ (верно).

Проверка для пары (-9; -15):
Произведение: $(-9) \cdot (-15) = 135$ (верно).
Разность: $(-9) - (-15) = -9 + 15 = 6$ (верно).

Обе пары чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: искомые числа — это 15 и 9, или -9 и -15.

364. Разность двух чисел равна 18. Сумма этих чисел, сложенная с частным от деления большего на меньшее, равна 34. Найти эти числа.

Пусть большее число будет $x$, а меньшее число — $y$. Согласно условию задачи, можно составить систему из двух уравнений.

Первое условие: разность двух чисел равна 18.$x - y = 18$

Второе условие: сумма этих чисел, сложенная с частным от деления большего на меньшее, равна 34.$(x + y) + \frac{x}{y} = 34$

Теперь решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим $x$:$x = y + 18$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:$((y + 18) + y) + \frac{y + 18}{y} = 34$

Упростим полученное уравнение:$(2y + 18) + \frac{y}{y} + \frac{18}{y} = 34$
$2y + 18 + 1 + \frac{18}{y} = 34$
$2y + 19 + \frac{18}{y} = 34$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы приравнять его к нулю:$2y + 19 - 34 + \frac{18}{y} = 0$
$2y - 15 + \frac{18}{y} = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $y$ (мы знаем, что $y \neq 0$, так как на него делят в условии задачи):$y \cdot (2y - 15 + \frac{18}{y}) = y \cdot 0$
$2y^2 - 15y + 18 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где $a=2$, $b=-15$, $c=18$. Решим его с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 - 144 = 81$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

Мы нашли два возможных значения для меньшего числа $y$. Теперь найдем соответствующие значения для большего числа $x$, используя ранее выведенную формулу $x = y + 18$.

Случай 1: Если меньшее число $y_1 = 1.5$.
Тогда большее число $x_1 = 1.5 + 18 = 19.5$.
Проверим эту пару чисел: (19.5 и 1.5).
Разность: $19.5 - 1.5 = 18$ (верно).
Сумма плюс частное: $(19.5 + 1.5) + \frac{19.5}{1.5} = 21 + 13 = 34$ (верно).

Случай 2: Если меньшее число $y_2 = 6$.
Тогда большее число $x_2 = 6 + 18 = 24$.
Проверим эту пару чисел: (24 и 6).
Разность: $24 - 6 = 18$ (верно).
Сумма плюс частное: $(24 + 6) + \frac{24}{6} = 30 + 4 = 34$ (верно).

Обе пары чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: Искомые числа — это 24 и 6, или 19.5 и 1.5.

365. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его площадь равна 12 см$^2$. Найти длины сторон прямоугольника.

Обозначим длины сторон прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, а площадь $S$ по формуле $S = a \cdot b$.

Согласно условию задачи, периметр равен 14 см, а площадь – 12 см². На основе этих данных составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2(a + b) = 14 \\ a \cdot b = 12 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$a + b = \frac{14}{2}$

$a + b = 7$

Теперь система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} a + b = 7 \\ a \cdot b = 12 \end{cases}$

Выразим переменную $a$ из первого уравнения:

$a = 7 - b$

Подставим полученное выражение для $a$ во второе уравнение системы:

$(7 - b) \cdot b = 12$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$7b - b^2 = 12$

$b^2 - 7b + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$b_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$b_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы нашли возможные значения для одной из сторон. Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны $a$:

• Если сторона $b = 3$ см, то сторона $a = 7 - 3 = 4$ см.
• Если сторона $b = 4$ см, то сторона $a = 7 - 4 = 3$ см.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.

Проверим решение:
Периметр: $P = 2(3 + 4) = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Площадь: $S = 3 \cdot 4 = 12$ см².
Результаты соответствуют условию задачи.

Ответ: Длины сторон прямоугольника равны 3 см и 4 см.

Решить систему уравнений (366–369).

366. 1)

$ \begin{cases} xy - \frac{x}{y} = 6, \\ xy - \frac{y}{x} = \frac{15}{2}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} xy - 4 = \frac{7x}{y}, \\ xy - \frac{3}{2} = \frac{y}{2x}. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x \neq 0$ и $y \neq 0$, так как переменные находятся в знаменателе дробей.

Для решения системы удобно ввести замену переменных. Пусть $a = xy$ и $b = \frac{x}{y}$. Тогда обратное отношение $\frac{y}{x}$ будет равно $\frac{1}{b}$.

Подставим новые переменные в исходную систему:

Из первого уравнения выразим переменную $a$ через $b$:

$a = 6 + b$

Теперь подставим это выражение для $a$ во второе уравнение системы:

$(6 + b) - \frac{1}{b} = \frac{15}{2}$

Чтобы решить это уравнение относительно $b$, умножим все его члены на $2b$ (это возможно, так как $b = \frac{x}{y} \neq 0$):

$2b(6 + b) - 2b(\frac{1}{b}) = 2b(\frac{15}{2})$

$12b + 2b^2 - 2 = 15b$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2b^2 - 3b - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Корни уравнения для $b$ равны:

$b_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$

Получаем два возможных значения для $b$:

$b_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$

$b_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$

Для каждого значения $b$ найдем соответствующее значение $a$ по формуле $a = 6 + b$:

При $b_1 = 2$, $a_1 = 6 + 2 = 8$.

При $b_2 = -\frac{1}{2}$, $a_2 = 6 - \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$.

Теперь выполним обратную замену для каждой пары $(a, b)$, чтобы найти $x$ и $y$.

Случай 1: $a = 8$ и $b = 2$.

Из второго уравнения получаем $x = 2y$. Подставляем в первое:

$(2y)y = 8 \Rightarrow 2y^2 = 8 \Rightarrow y^2 = 4$, откуда $y = \pm 2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 \cdot 2 = 4$. Первое решение: $(4, 2)$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2 \cdot (-2) = -4$. Второе решение: $(-4, -2)$.

Случай 2: $a = \frac{11}{2}$ и $b = -\frac{1}{2}$.

Из второго уравнения получаем $x = -\frac{1}{2}y$. Подставляем в первое:

$(-\frac{1}{2}y)y = \frac{11}{2} \Rightarrow -\frac{y^2}{2} = \frac{11}{2} \Rightarrow y^2 = -11$.

Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4; 2), (-4; -2)$.

2)

Дана система уравнений:

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Преобразуем систему, чтобы она была похожа на предыдущую:

Введем те же переменные: $a = xy$ и $b = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{b}$.

Система в новых переменных:

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 4 + 7b$.

Подставим во второе уравнение:

$(4 + 7b) - \frac{1}{2b} = \frac{3}{2}$

Умножим уравнение на $2b$ ($b \neq 0$):

$2b(4 + 7b) - 1 = 3b$

$8b + 14b^2 - 1 = 3b$

Приведем к стандартному виду:

$14b^2 + 5b - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81$.

Корни для $b$:

$b_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 14} = \frac{-5 \pm 9}{28}$

Получаем два значения для $b$:

$b_1 = \frac{-5 + 9}{28} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$

$b_2 = \frac{-5 - 9}{28} = \frac{-14}{28} = -\frac{1}{2}$

Найдем соответствующие значения $a$ из $a = 4 + 7b$:

При $b_1 = \frac{1}{7}$, $a_1 = 4 + 7 \cdot \frac{1}{7} = 4 + 1 = 5$.

При $b_2 = -\frac{1}{2}$, $a_2 = 4 + 7 \cdot (-\frac{1}{2}) = 4 - \frac{7}{2} = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 5$ и $b = \frac{1}{7}$.

Из второго уравнения $x = \frac{y}{7}$. Подставляем в первое:

$(\frac{y}{7})y = 5 \Rightarrow \frac{y^2}{7} = 5 \Rightarrow y^2 = 35$, откуда $y = \pm \sqrt{35}$.

Если $y_1 = \sqrt{35}$, то $x_1 = \frac{\sqrt{35}}{7}$. Первое решение: $(\frac{\sqrt{35}}{7}, \sqrt{35})$.

Если $y_2 = -\sqrt{35}$, то $x_2 = -\frac{\sqrt{35}}{7}$. Второе решение: $(-\frac{\sqrt{35}}{7}, -\sqrt{35})$.

Случай 2: $a = \frac{1}{2}$ и $b = -\frac{1}{2}$.

Из второго уравнения $x = -\frac{y}{2}$. Подставляем в первое:

$(-\frac{y}{2})y = \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{y^2}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow y^2 = -1$.

Это уравнение не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{\sqrt{35}}{7}; \sqrt{35}), (-\frac{\sqrt{35}}{7}; -\sqrt{35})$.

367. 1) $ \begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 10 \\ \frac{y^3}{x} + xy = \frac{5}{2} \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 5 \\ \frac{y^3}{x} + xy = \frac{10}{3} \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 10 \\ \frac{y^3}{x} + xy = \frac{5}{2} \end{cases} $

Очевидно, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Сделаем замену. Пусть $P = xy$. Тогда систему можно переписать в виде:

$ \begin{cases} \frac{x^3}{y} = 10 - P \\ \frac{y^3}{x} = \frac{5}{2} - P \end{cases} $

Перемножим левые и правые части уравнений системы:

$\frac{x^3}{y} \cdot \frac{y^3}{x} = (10 - P)(\frac{5}{2} - P)$

Упростим левую часть:

$x^2y^2 = (xy)^2 = P^2$

Теперь раскроем скобки в правой части и приравняем к $P^2$:

$P^2 = 10 \cdot \frac{5}{2} - 10P - \frac{5}{2}P + P^2$

$P^2 = 25 - \frac{20P + 5P}{2} + P^2$

$0 = 25 - \frac{25}{2}P$

$\frac{25}{2}P = 25$

$P = 2$

Таким образом, мы нашли, что $xy = 2$. Подставим это значение в первое уравнение исходной системы:

$\frac{x^3}{y} + 2 = 10$

$\frac{x^3}{y} = 8$

Из равенства $xy = 2$ выразим $y = \frac{2}{x}$ и подставим в полученное уравнение:

$\frac{x^3}{2/x} = 8$

$\frac{x^4}{2} = 8$

$x^4 = 16$

Отсюда находим возможные значения для $x$:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{2}{x_1} = \frac{2}{2} = 1$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{2}{x_2} = \frac{2}{-2} = -1$.

Получили две пары решений: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$. Проверим их, подставив во второе уравнение исходной системы $\frac{y^3}{x} + xy = \frac{5}{2}$.

Для $(2, 1)$: $\frac{1^3}{2} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$. Верно.

Для $(-2, -1)$: $\frac{(-1)^3}{-2} + (-2)(-1) = \frac{-1}{-2} + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$. Верно.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 5 \\ \frac{y^3}{x} + xy = \frac{10}{3} \end{cases} $

Как и в предыдущем задании, $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Применим тот же метод. Пусть $P = xy$. Перепишем систему:

$ \begin{cases} \frac{x^3}{y} = 5 - P \\ \frac{y^3}{x} = \frac{10}{3} - P \end{cases} $

Перемножим уравнения:

$\frac{x^3}{y} \cdot \frac{y^3}{x} = (5 - P)(\frac{10}{3} - P)$

$x^2y^2 = P^2$

Получаем уравнение для $P$:

$P^2 = 5 \cdot \frac{10}{3} - 5P - \frac{10}{3}P + P^2$

$P^2 = \frac{50}{3} - (\frac{15P + 10P}{3}) + P^2$

$0 = \frac{50}{3} - \frac{25}{3}P$

$\frac{25}{3}P = \frac{50}{3}$

$P = 2$

Итак, $xy = 2$. Подставим это в первое уравнение исходной системы:

$\frac{x^3}{y} + 2 = 5$

$\frac{x^3}{y} = 3$

Из $xy = 2$ выражаем $y = \frac{2}{x}$ и подставляем:

$\frac{x^3}{2/x} = 3$

$\frac{x^4}{2} = 3$

$x^4 = 6$

Отсюда находим возможные значения для $x$:

$x = \pm \sqrt[4]{6}$

Находим соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = \sqrt[4]{6}$, то $y_1 = \frac{2}{x_1} = \frac{2}{\sqrt[4]{6}}$.

Если $x_2 = -\sqrt[4]{6}$, то $y_2 = \frac{2}{x_2} = -\frac{2}{\sqrt[4]{6}}$.

Получили две пары решений: $(\sqrt[4]{6}, \frac{2}{\sqrt[4]{6}})$ и $(-\sqrt[4]{6}, -\frac{2}{\sqrt[4]{6}})$. Проверим их, подставив во второе уравнение исходной системы $\frac{y^3}{x} + xy = \frac{10}{3}$.

Для $(\sqrt[4]{6}, \frac{2}{\sqrt[4]{6}})$, $xy=2$. $\frac{y^3}{x} = \frac{(2/\sqrt[4]{6})^3}{\sqrt[4]{6}} = \frac{8/(\sqrt[4]{6})^3}{\sqrt[4]{6}} = \frac{8}{(\sqrt[4]{6})^4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Тогда $\frac{4}{3}+2 = \frac{10}{3}$. Верно.

Для $(-\sqrt[4]{6}, -\frac{2}{\sqrt[4]{6}})$, $xy=2$. $\frac{y^3}{x} = \frac{(-2/\sqrt[4]{6})^3}{-\sqrt[4]{6}} = \frac{-8/(\sqrt[4]{6})^3}{-\sqrt[4]{6}} = \frac{8}{(\sqrt[4]{6})^4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Тогда $\frac{4}{3}+2 = \frac{10}{3}$. Верно.

Ответ: $(\sqrt[4]{6}, \frac{2}{\sqrt[4]{6}})$, $(-\sqrt[4]{6}, -\frac{2}{\sqrt[4]{6}})$.