Номер 367, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

367. 1) $ \begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 10 \\ \frac{y^3}{x} + xy = \frac{5}{2} \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 5 \\ \frac{y^3}{x} + xy = \frac{10}{3} \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 10 \\ \frac{y^3}{x} + xy = \frac{5}{2} \end{cases} $

Очевидно, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Сделаем замену. Пусть $P = xy$. Тогда систему можно переписать в виде:

$ \begin{cases} \frac{x^3}{y} = 10 - P \\ \frac{y^3}{x} = \frac{5}{2} - P \end{cases} $

Перемножим левые и правые части уравнений системы:

$\frac{x^3}{y} \cdot \frac{y^3}{x} = (10 - P)(\frac{5}{2} - P)$

Упростим левую часть:

$x^2y^2 = (xy)^2 = P^2$

Теперь раскроем скобки в правой части и приравняем к $P^2$:

$P^2 = 10 \cdot \frac{5}{2} - 10P - \frac{5}{2}P + P^2$

$P^2 = 25 - \frac{20P + 5P}{2} + P^2$

$0 = 25 - \frac{25}{2}P$

$\frac{25}{2}P = 25$

$P = 2$

Таким образом, мы нашли, что $xy = 2$. Подставим это значение в первое уравнение исходной системы:

$\frac{x^3}{y} + 2 = 10$

$\frac{x^3}{y} = 8$

Из равенства $xy = 2$ выразим $y = \frac{2}{x}$ и подставим в полученное уравнение:

$\frac{x^3}{2/x} = 8$

$\frac{x^4}{2} = 8$

$x^4 = 16$

Отсюда находим возможные значения для $x$:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{2}{x_1} = \frac{2}{2} = 1$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{2}{x_2} = \frac{2}{-2} = -1$.

Получили две пары решений: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$. Проверим их, подставив во второе уравнение исходной системы $\frac{y^3}{x} + xy = \frac{5}{2}$.

Для $(2, 1)$: $\frac{1^3}{2} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$. Верно.

Для $(-2, -1)$: $\frac{(-1)^3}{-2} + (-2)(-1) = \frac{-1}{-2} + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$. Верно.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 5 \\ \frac{y^3}{x} + xy = \frac{10}{3} \end{cases} $

Как и в предыдущем задании, $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Применим тот же метод. Пусть $P = xy$. Перепишем систему:

$ \begin{cases} \frac{x^3}{y} = 5 - P \\ \frac{y^3}{x} = \frac{10}{3} - P \end{cases} $

Перемножим уравнения:

$\frac{x^3}{y} \cdot \frac{y^3}{x} = (5 - P)(\frac{10}{3} - P)$

$x^2y^2 = P^2$

Получаем уравнение для $P$:

$P^2 = 5 \cdot \frac{10}{3} - 5P - \frac{10}{3}P + P^2$

$P^2 = \frac{50}{3} - (\frac{15P + 10P}{3}) + P^2$

$0 = \frac{50}{3} - \frac{25}{3}P$

$\frac{25}{3}P = \frac{50}{3}$

$P = 2$

Итак, $xy = 2$. Подставим это в первое уравнение исходной системы:

$\frac{x^3}{y} + 2 = 5$

$\frac{x^3}{y} = 3$

Из $xy = 2$ выражаем $y = \frac{2}{x}$ и подставляем:

$\frac{x^3}{2/x} = 3$

$\frac{x^4}{2} = 3$

$x^4 = 6$

Отсюда находим возможные значения для $x$:

$x = \pm \sqrt[4]{6}$

Находим соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = \sqrt[4]{6}$, то $y_1 = \frac{2}{x_1} = \frac{2}{\sqrt[4]{6}}$.

Если $x_2 = -\sqrt[4]{6}$, то $y_2 = \frac{2}{x_2} = -\frac{2}{\sqrt[4]{6}}$.

Получили две пары решений: $(\sqrt[4]{6}, \frac{2}{\sqrt[4]{6}})$ и $(-\sqrt[4]{6}, -\frac{2}{\sqrt[4]{6}})$. Проверим их, подставив во второе уравнение исходной системы $\frac{y^3}{x} + xy = \frac{10}{3}$.

Для $(\sqrt[4]{6}, \frac{2}{\sqrt[4]{6}})$, $xy=2$. $\frac{y^3}{x} = \frac{(2/\sqrt[4]{6})^3}{\sqrt[4]{6}} = \frac{8/(\sqrt[4]{6})^3}{\sqrt[4]{6}} = \frac{8}{(\sqrt[4]{6})^4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Тогда $\frac{4}{3}+2 = \frac{10}{3}$. Верно.

Для $(-\sqrt[4]{6}, -\frac{2}{\sqrt[4]{6}})$, $xy=2$. $\frac{y^3}{x} = \frac{(-2/\sqrt[4]{6})^3}{-\sqrt[4]{6}} = \frac{-8/(\sqrt[4]{6})^3}{-\sqrt[4]{6}} = \frac{8}{(\sqrt[4]{6})^4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Тогда $\frac{4}{3}+2 = \frac{10}{3}$. Верно.

Ответ: $(\sqrt[4]{6}, \frac{2}{\sqrt[4]{6}})$, $(-\sqrt[4]{6}, -\frac{2}{\sqrt[4]{6}})$.