Номер 368, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

368. 1) $\begin{cases} (x-y)(x^2+y^2)=65, \\ (x+y)(x^2-y^2)=5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^3+4y=y^3+16x, \\ 1+y^2=5(1+x^2). \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} (x - y)(x^2 + y^2) = 65 \\ (x + y)(x^2 - y^2) = 5 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x + y)(x - y)(x + y) = 5$

$(x - y)(x + y)^2 = 5$

Раскроем скобки в обоих уравнениях системы.
Первое уравнение: $x^3 + xy^2 - yx^2 - y^3 = 65$.
Второе уравнение (в преобразованном виде): $(x - y)(x^2 + 2xy + y^2) = x^3 + 2x^2y + xy^2 - yx^2 - 2xy^2 - y^3 = x^3 + x^2y - xy^2 - y^3 = 5$.

Получим новую систему:

$$ \begin{cases} x^3 - x^2y + xy^2 - y^3 = 65 \\ x^3 + x^2y - xy^2 - y^3 = 5 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы:

$(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3) + (x^3 + x^2y - xy^2 - y^3) = 65 + 5$

$2x^3 - 2y^3 = 70$

$x^3 - y^3 = 35$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3) - (x^3 + x^2y - xy^2 - y^3) = 65 - 5$

$-2x^2y + 2xy^2 = 60$

$xy^2 - x^2y = 30 \implies xy(y - x) = 30 \implies xy(x - y) = -30$

Теперь решаем более простую систему:

$$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 35 \\ xy(x - y) = -30 \end{cases} $$

Разложим первое уравнение на множители: $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 35$.

Сделаем замену переменных. Пусть $u = x - y$ и $v = xy$.
Второе уравнение принимает вид $v \cdot u = -30$.
Выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$:
$u^2 = (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) - 2v$.
Отсюда $x^2 + y^2 = u^2 + 2v$.
Подставим это в первое уравнение:
$u((u^2 + 2v) + v) = 35$
$u(u^2 + 3v) = 35$
$u^3 + 3uv = 35$

Подставим $uv = -30$ в полученное уравнение:

$u^3 + 3(-30) = 35$

$u^3 - 90 = 35$

$u^3 = 125$

$u = 5$

Теперь найдем $v$:

$v = -30 / u = -30 / 5 = -6$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$. Мы получили систему:

$$ \begin{cases} x - y = 5 \\ xy = -6 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x = y + 5$ и подставим во второе:

$(y + 5)y = -6$

$y^2 + 5y + 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета корни $y_1 = -2$ и $y_2 = -3$.
1. Если $y = -2$, то $x = -2 + 5 = 3$. Получаем пару $(3, -2)$.
2. Если $y = -3$, то $x = -3 + 5 = 2$. Получаем пару $(2, -3)$.

Обе пары являются решениями исходной системы.

Ответ: $(3, -2), (2, -3)$.

2) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} x^3 + 4y = y^3 + 16x \\ 1 + y^2 = 5(1 + x^2) \end{cases} $$

Преобразуем оба уравнения.
Из первого уравнения:
$x^3 - y^3 = 16x - 4y$
$x^3 - 16x = y^3 - 4y$
$x(x^2 - 16) = y(y^2 - 4)$

Из второго уравнения:
$1 + y^2 = 5 + 5x^2$
$y^2 - 5x^2 = 4$
Отсюда можно выразить $y^2 - 4 = 5x^2$.

Рассмотрим случай, когда $x = 0$.
Подставим $x = 0$ во второе уравнение:
$1 + y^2 = 5(1 + 0^2) \implies 1 + y^2 = 5 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
Проверим эти пары в первом уравнении.
Для $(0, 2)$: $0^3 + 4(2) = 2^3 + 16(0) \implies 8 = 8$. Верно.
Для $(0, -2)$: $0^3 + 4(-2) = (-2)^3 + 16(0) \implies -8 = -8$. Верно.
Таким образом, $(0, 2)$ и $(0, -2)$ являются решениями системы.

Теперь рассмотрим случай, когда $x \neq 0$.
Подставим выражение $y^2 - 4 = 5x^2$ в преобразованное первое уравнение $x(x^2 - 16) = y(y^2 - 4)$:
$x(x^2 - 16) = y(5x^2)$
Поскольку $x \neq 0$, мы можем разделить обе части на $x$:
$x^2 - 16 = 5xy$

Теперь у нас есть новая система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 16 = 5xy \\ y^2 - 5x^2 = 4 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$ (так как $x \neq 0$):

$y = \frac{x^2 - 16}{5x}$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$\left(\frac{x^2 - 16}{5x}\right)^2 - 5x^2 = 4$

$\frac{(x^2 - 16)^2}{25x^2} - 5x^2 = 4$

Умножим обе части на $25x^2$:

$(x^2 - 16)^2 - 125x^4 = 100x^2$

$x^4 - 32x^2 + 256 - 125x^4 - 100x^2 = 0$

$-124x^4 - 132x^2 + 256 = 0$

Разделим уравнение на $-4$ для упрощения:

$31x^4 + 33x^2 - 64 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$:

$31t^2 + 33t - 64 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Заметим, что сумма коэффициентов $31 + 33 - 64 = 0$, следовательно, один из корней равен $t_1 = 1$.
Второй корень можно найти по теореме Виета: $t_1 t_2 = c/a$.
$1 \cdot t_2 = -64/31 \implies t_2 = -64/31$.
Так как $t = x^2$ должно быть неотрицательным, корень $t_2 = -64/31$ не подходит.

Итак, $x^2 = t_1 = 1$, откуда $x = \pm 1$.
Найдем соответствующие значения $y$:
1. Если $x = 1$, то $y = \frac{1^2 - 16}{5(1)} = \frac{-15}{5} = -3$. Получаем пару $(1, -3)$.
2. Если $x = -1$, то $y = \frac{(-1)^2 - 16}{5(-1)} = \frac{1 - 16}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3$. Получаем пару $(-1, 3)$.

Соберем все найденные решения.

Ответ: $(0, 2), (0, -2), (1, -3), (-1, 3)$.