Номер 364, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

364. Разность двух чисел равна 18. Сумма этих чисел, сложенная с частным от деления большего на меньшее, равна 34. Найти эти числа.

Пусть большее число будет $x$, а меньшее число — $y$. Согласно условию задачи, можно составить систему из двух уравнений.

Первое условие: разность двух чисел равна 18.$x - y = 18$

Второе условие: сумма этих чисел, сложенная с частным от деления большего на меньшее, равна 34.$(x + y) + \frac{x}{y} = 34$

Теперь решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим $x$:$x = y + 18$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:$((y + 18) + y) + \frac{y + 18}{y} = 34$

Упростим полученное уравнение:$(2y + 18) + \frac{y}{y} + \frac{18}{y} = 34$
$2y + 18 + 1 + \frac{18}{y} = 34$
$2y + 19 + \frac{18}{y} = 34$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы приравнять его к нулю:$2y + 19 - 34 + \frac{18}{y} = 0$
$2y - 15 + \frac{18}{y} = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $y$ (мы знаем, что $y \neq 0$, так как на него делят в условии задачи):$y \cdot (2y - 15 + \frac{18}{y}) = y \cdot 0$
$2y^2 - 15y + 18 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где $a=2$, $b=-15$, $c=18$. Решим его с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 - 144 = 81$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

Мы нашли два возможных значения для меньшего числа $y$. Теперь найдем соответствующие значения для большего числа $x$, используя ранее выведенную формулу $x = y + 18$.

Случай 1: Если меньшее число $y_1 = 1.5$.
Тогда большее число $x_1 = 1.5 + 18 = 19.5$.
Проверим эту пару чисел: (19.5 и 1.5).
Разность: $19.5 - 1.5 = 18$ (верно).
Сумма плюс частное: $(19.5 + 1.5) + \frac{19.5}{1.5} = 21 + 13 = 34$ (верно).

Случай 2: Если меньшее число $y_2 = 6$.
Тогда большее число $x_2 = 6 + 18 = 24$.
Проверим эту пару чисел: (24 и 6).
Разность: $24 - 6 = 18$ (верно).
Сумма плюс частное: $(24 + 6) + \frac{24}{6} = 30 + 4 = 34$ (верно).

Обе пары чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: Искомые числа — это 24 и 6, или 19.5 и 1.5.