Номер 359, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

359. 1) $\begin{cases} x + y = 3, \\ xy = -40; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 7, \\ xy = 18. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}x + y = 3 \\xy = -40\end{cases}$$

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = 3 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x(3 - x) = -40$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$3x - x^2 = -40$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или формулой корней через дискриминант. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

Здесь коэффициенты $a = 1$, $b = -3$, $c = -40$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных значений $x$, используя выражение $y = 3 - x$:

Если $x_1 = 8$, то $y_1 = 3 - 8 = -5$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = 3 - (-5) = 3 + 5 = 8$.

Таким образом, система имеет два решения в виде пар чисел $(x; y)$.

Ответ: $(8; -5), (-5; 8)$.

2) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}x - y = 7 \\xy = 18\end{cases}$$

Применим метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$:

$x = 7 + y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(7 + y)y = 18$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$7y + y^2 = 18$

$y^2 + 7y - 18 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно переменной $y$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

Здесь коэффициенты $a = 1$, $b = 7$, $c = -18$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения для $y$ по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя выражение $x = 7 + y$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 7 + 2 = 9$.

Если $y_2 = -9$, то $x_2 = 7 + (-9) = 7 - 9 = -2$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(9; 2), (-2; -9)$.