Номер 354, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

354. Найти член разложения бинома $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{12}$, содержащий $\frac{1}{x}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В нашем случае дан бином $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{12}$. Определим его компоненты для формулы:

• $a = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$
• $b = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$
• $n = 12$

Подставим эти значения в формулу общего члена разложения:

$T_{k+1} = C_{12}^k (x^{1/3})^{12-k} (x^{-1/2})^k$.

Упростим часть выражения, содержащую переменную $x$, используя свойства степеней:

$(x^{1/3})^{12-k} (x^{-1/2})^k = x^{\frac{12-k}{3}} \cdot x^{-\frac{k}{2}} = x^{\frac{12-k}{3} - \frac{k}{2}}$.

По условию задачи, мы ищем член разложения, который содержит $\frac{1}{x}$, что эквивалентно $x^{-1}$. Для этого необходимо, чтобы показатель степени у переменной $x$ был равен -1. Составим и решим уравнение:

$\frac{12-k}{3} - \frac{k}{2} = -1$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю 6:

$\frac{2(12-k) - 3k}{6} = -1$

$24 - 2k - 3k = -6$

$24 - 5k = -6$

$5k = 24 + 6$

$5k = 30$

$k = 6$.

Мы получили целое значение $k=6$, которое удовлетворяет условию $0 \leq k \leq n$ (так как $0 \leq 6 \leq 12$). Это означает, что искомый член является $(k+1)$-м, то есть $(6+1)=7$-м членом разложения.

Теперь найдем сам член, вычислив биномиальный коэффициент $C_{12}^6$:

$C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.

Проведем сокращения для упрощения вычислений:

$C_{12}^6 = \frac{12}{6 \cdot 2} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{9}{3} \cdot \frac{8}{4} \cdot 11 \cdot 7 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 = 924$.

Итак, коэффициент искомого члена равен 924. Сам член равен:

$T_7 = C_{12}^6 x^{-1} = 924x^{-1} = \frac{924}{x}$.

Ответ: $\frac{924}{x}$.