Страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

348. Записать разложение бинома:

1) $(a-2b)^6$;

2) $(1+\sqrt{2})^5$;

3) $(1+2x)^5$;

4) $(x+\frac{1}{2x})^8$.

Для решения всех пунктов используется формула разложения бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + \dots + C_n^n a^0 b^n$,

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

1) $(a-2b)^6$

В этом случае $a$ в формуле — это $a$, $b$ в формуле — это $(-2b)$, а $n=6$.

Вычислим биномиальные коэффициенты для $n=6$:

$C_6^0 = 1$

$C_6^1 = \frac{6!}{1!5!} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

$C_6^4 = C_6^2 = 15$

$C_6^5 = C_6^1 = 6$

$C_6^6 = 1$

Теперь подставим все значения в формулу разложения:

$(a-2b)^6 = C_6^0 a^6 (-2b)^0 + C_6^1 a^5 (-2b)^1 + C_6^2 a^4 (-2b)^2 + C_6^3 a^3 (-2b)^3 + C_6^4 a^2 (-2b)^4 + C_6^5 a^1 (-2b)^5 + C_6^6 a^0 (-2b)^6$

$= 1 \cdot a^6 \cdot 1 + 6 \cdot a^5 \cdot (-2b) + 15 \cdot a^4 \cdot (4b^2) + 20 \cdot a^3 \cdot (-8b^3) + 15 \cdot a^2 \cdot (16b^4) + 6 \cdot a \cdot (-32b^5) + 1 \cdot 1 \cdot (64b^6)$

$= a^6 - 12a^5b + 60a^4b^2 - 160a^3b^3 + 240a^2b^4 - 192ab^5 + 64b^6$

Ответ: $a^6 - 12a^5b + 60a^4b^2 - 160a^3b^3 + 240a^2b^4 - 192ab^5 + 64b^6$

2) $(1+\sqrt{2})^5$

Здесь $a=1$, $b=\sqrt{2}$, $n=5$.

Биномиальные коэффициенты для $n=5$:

$C_5^0=1$, $C_5^1=5$, $C_5^2=10$, $C_5^3=10$, $C_5^4=5$, $C_5^5=1$.

Подставим в формулу:

$(1+\sqrt{2})^5 = C_5^0 \cdot 1^5 (\sqrt{2})^0 + C_5^1 \cdot 1^4 (\sqrt{2})^1 + C_5^2 \cdot 1^3 (\sqrt{2})^2 + C_5^3 \cdot 1^2 (\sqrt{2})^3 + C_5^4 \cdot 1^1 (\sqrt{2})^4 + C_5^5 \cdot 1^0 (\sqrt{2})^5$

Так как $1$ в любой степени равен $1$, упростим выражение:

$= 1 \cdot 1 + 5 \cdot \sqrt{2} + 10 \cdot (\sqrt{2})^2 + 10 \cdot (\sqrt{2})^3 + 5 \cdot (\sqrt{2})^4 + 1 \cdot (\sqrt{2})^5$

$= 1 + 5\sqrt{2} + 10 \cdot 2 + 10 \cdot 2\sqrt{2} + 5 \cdot 4 + 4\sqrt{2}$

$= 1 + 5\sqrt{2} + 20 + 20\sqrt{2} + 20 + 4\sqrt{2}$

Сгруппируем рациональные и иррациональные части:

$= (1 + 20 + 20) + (5\sqrt{2} + 20\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 41 + 29\sqrt{2}$

Ответ: $41 + 29\sqrt{2}$

3) $(1+2x)^5$

Здесь $a=1$, $b=2x$, $n=5$.

Используем те же биномиальные коэффициенты, что и в предыдущем пункте:

$C_5^0=1$, $C_5^1=5$, $C_5^2=10$, $C_5^3=10$, $C_5^4=5$, $C_5^5=1$.

Подставим в формулу:

$(1+2x)^5 = C_5^0 \cdot 1^5 (2x)^0 + C_5^1 \cdot 1^4 (2x)^1 + C_5^2 \cdot 1^3 (2x)^2 + C_5^3 \cdot 1^2 (2x)^3 + C_5^4 \cdot 1^1 (2x)^4 + C_5^5 \cdot 1^0 (2x)^5$

$= 1 \cdot 1 + 5 \cdot (2x) + 10 \cdot (4x^2) + 10 \cdot (8x^3) + 5 \cdot (16x^4) + 1 \cdot (32x^5)$

$= 1 + 10x + 40x^2 + 80x^3 + 80x^4 + 32x^5$

Ответ: $1 + 10x + 40x^2 + 80x^3 + 80x^4 + 32x^5$

4) $(x+\frac{1}{2x})^8$

Здесь $a=x$, $b=\frac{1}{2x}$, $n=8$.

Вычислим биномиальные коэффициенты для $n=8$:

$C_8^0 = 1$

$C_8^1 = 8$

$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$

$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

Остальные коэффициенты симметричны: $C_8^5 = 56$, $C_8^6 = 28$, $C_8^7 = 8$, $C_8^8 = 1$.

Подставим в формулу:

$(x+\frac{1}{2x})^8 = C_8^0 x^8 (\frac{1}{2x})^0 + C_8^1 x^7 (\frac{1}{2x})^1 + C_8^2 x^6 (\frac{1}{2x})^2 + C_8^3 x^5 (\frac{1}{2x})^3 + C_8^4 x^4 (\frac{1}{2x})^4 + C_8^5 x^3 (\frac{1}{2x})^5 + C_8^6 x^2 (\frac{1}{2x})^6 + C_8^7 x^1 (\frac{1}{2x})^7 + C_8^8 x^0 (\frac{1}{2x})^8$

$= 1 \cdot x^8 + 8 \cdot x^7 \cdot \frac{1}{2x} + 28 \cdot x^6 \cdot \frac{1}{4x^2} + 56 \cdot x^5 \cdot \frac{1}{8x^3} + 70 \cdot x^4 \cdot \frac{1}{16x^4} + 56 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{32x^5} + 28 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{64x^6} + 8 \cdot x \cdot \frac{1}{128x^7} + 1 \cdot \frac{1}{256x^8}$

Упростим каждый член разложения:

$= x^8 + 4x^6 + 7x^4 + 7x^2 + \frac{70}{16} + \frac{56}{32x^2} + \frac{28}{64x^4} + \frac{8}{128x^6} + \frac{1}{256x^8}$

$= x^8 + 4x^6 + 7x^4 + 7x^2 + \frac{35}{8} + \frac{7}{4x^2} + \frac{7}{16x^4} + \frac{1}{16x^6} + \frac{1}{256x^8}$

Ответ: $x^8 + 4x^6 + 7x^4 + 7x^2 + \frac{35}{8} + \frac{7}{4x^2} + \frac{7}{16x^4} + \frac{1}{16x^6} + \frac{1}{256x^8}$

349. Найти пятый член разложения:

1) $ (\sqrt{x}+x)^{10} $

2) $ (x-\frac{1}{x})^{13} $

3) $ (2+\sqrt{x})^{9} $

Для нахождения $(k+1)$-го члена разложения бинома $(a+b)^n$ используется формула бинома Ньютона: $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$.

В задании требуется найти пятый член разложения $(\sqrt{x} + x)^{10}$. Это означает, что $k+1=5$, откуда $k=4$. Параметры для формулы: $n=10$, $a = \sqrt{x}$, $b = x$.

Подставляем значения в формулу для пятого члена ($T_5$):

$T_5 = C_{10}^4 (\sqrt{x})^{10-4} x^4 = C_{10}^4 (\sqrt{x})^6 x^4$.

Сначала вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^4$:

$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$.

Теперь упростим выражение с переменной $x$:

$(\sqrt{x})^6 \cdot x^4 = (x^{1/2})^6 \cdot x^4 = x^{3} \cdot x^4 = x^{3+4} = x^7$.

Таким образом, пятый член разложения равен:

$T_5 = 210x^7$.

Ответ: $210x^7$.

Находим пятый член разложения $(x - \frac{1}{x})^{13}$. Используем ту же формулу для $(k+1)$-го члена, где $k+1=5$, т.е. $k=4$.

Параметры бинома: $n=13$, $a=x$, $b = -\frac{1}{x}$.

Подставляем значения в формулу для пятого члена ($T_5$):

$T_5 = C_{13}^4 (x)^{13-4} (-\frac{1}{x})^4 = C_{13}^4 x^9 (\frac{1}{x})^4$.

Так как степень для $b$ четная ($4$), знак минус исчезает: $(-1)^4 = 1$.

Вычисляем биномиальный коэффициент $C_{13}^4$:

$C_{13}^4 = \frac{13!}{4!(13-4)!} = \frac{13!}{4!9!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 5 \cdot 11 = 715$.

Упрощаем степени $x$:

$x^9 \cdot (\frac{1}{x})^4 = x^9 \cdot x^{-4} = x^{9-4} = x^5$.

Таким образом, пятый член разложения равен:

$T_5 = 715x^5$.

Ответ: $715x^5$.

Находим пятый член разложения $(2 + \sqrt{x})^9$. Здесь $k+1=5$, т.е. $k=4$.

Параметры бинома: $n=9$, $a=2$, $b = \sqrt{x}$.

Подставляем значения в формулу для пятого члена ($T_5$):

$T_5 = C_9^4 (2)^{9-4} (\sqrt{x})^4 = C_9^4 \cdot 2^5 \cdot (\sqrt{x})^4$.

Вычисляем биномиальный коэффициент $C_9^4$:

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$.

Вычисляем остальные числовые и степенные части:

$2^5 = 32$.

$(\sqrt{x})^4 = (x^{1/2})^4 = x^{4/2} = x^2$.

Перемножаем все компоненты:

$T_5 = 126 \cdot 32 \cdot x^2 = 4032x^2$.

Ответ: $4032x^2$.

350. Найти в разложении бинома $ (x^3 + \frac{1}{x^3})^{18} $ член, не содержащий $x$.

Для нахождения члена разложения бинома, не содержащего $x$, воспользуемся формулой бинома Ньютона:$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$$Общий $(k+1)$-й член разложения, обозначаемый $T_{k+1}$, определяется формулой:$$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$$

В нашем случае дан бином $\left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right)^{18}$.Здесь $a = x^3$, $b = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$ и $n=18$.Подставим эти значения в формулу для общего члена:$$T_{k+1} = C_{18}^k (x^3)^{18-k} \left(\frac{1}{x^3}\right)^k$$

Упростим это выражение, используя свойства степеней:$$T_{k+1} = C_{18}^k (x^3)^{18-k} (x^{-3})^k = C_{18}^k x^{3(18-k)} x^{-3k} = C_{18}^k x^{54-3k-3k} = C_{18}^k x^{54-6k}$$

Член разложения не содержит $x$ (является свободным членом), если показатель степени при $x$ равен нулю. Таким образом, нам необходимо найти значение $k$, удовлетворяющее уравнению:$$54 - 6k = 0$$

Решим это линейное уравнение:$$6k = 54$$$$k = \frac{54}{6}$$$$k = 9$$

Значение $k=9$ соответствует $(k+1)$-му, то есть $(9+1) = 10$-му члену разложения.Теперь найдем величину этого члена, подставив $k=9$ в его формулу:$$T_{10} = C_{18}^9 x^{54-6 \cdot 9} = C_{18}^9 x^{54-54} = C_{18}^9 x^0 = C_{18}^9$$

Осталось вычислить биномиальный коэффициент $C_{18}^9$:$$C_{18}^9 = \frac{18!}{9!(18-9)!} = \frac{18!}{9! \cdot 9!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$Выполнив сокращение дроби, получим:$$C_{18}^9 = 4 \cdot 17 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 11$$Проведем вычисления:$$C_{18}^9 = (4 \cdot 5) \cdot 17 \cdot (13 \cdot 11) = 20 \cdot 17 \cdot 143 = 340 \cdot 143 = 48620$$Следовательно, член разложения, не содержащий $x$, равен 48620.

Ответ: 48620.

351. Сколько рациональных членов содержит разложение:

1) $(\sqrt{3} + \sqrt[4]{5})^{124}$;

2) $(\sqrt{2} + \sqrt[4]{3})^{100}$ ?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения $(a+b)^n$:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

Общий член разложения $T_{k+1}$ имеет вид $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $k$ принимает целые значения от 0 до $n$. Коэффициент $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ всегда является целым числом, а значит, и рациональным. Таким образом, для того чтобы член разложения был рациональным, необходимо, чтобы множитель $a^{n-k}b^k$ был рациональным числом.

В данном случае $a = \sqrt{3} = 3^{1/2}$, $b = \sqrt[4]{5} = 5^{1/4}$ и $n=124$.

Общий член разложения имеет вид:

$T_{k+1} = C_{124}^k (\sqrt{3})^{124-k} (\sqrt[4]{5})^k = C_{124}^k (3^{1/2})^{124-k} (5^{1/4})^k = C_{124}^k 3^{\frac{124-k}{2}} 5^{\frac{k}{4}}$

Чтобы этот член был рациональным, показатели степеней у чисел 3 и 5 должны быть целыми числами. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \frac{124-k}{2} \in \mathbb{Z} \\ \frac{k}{4} \in \mathbb{Z} \end{cases}$

Из второго условия следует, что $k$ должно быть кратно 4, то есть $k = 4m$, где $m$ – целое число. Если $k$ кратно 4, то оно также кратно 2 (четное). Подставим это в первое условие: $\frac{124-k}{2} = \frac{124}{2} - \frac{k}{2} = 62 - \frac{k}{2}$. Поскольку $k$ четное, $k/2$ является целым числом, и вся разность также будет целым числом. Таким образом, достаточно выполнения только второго условия: $k$ должно быть кратно 4.

Индекс $k$ в разложении бинома изменяется от 0 до $n$, то есть $0 \le k \le 124$. Нам нужно найти количество значений $k$, которые кратны 4 в этом диапазоне.

Возможные значения $k$: 0, 4, 8, ..., 124.

Чтобы найти их количество, можно разделить верхнюю границу на 4 и учесть 0: $\frac{124}{4} = 31$. Значит, $k$ может принимать значения $4 \cdot 0, 4 \cdot 1, \dots, 4 \cdot 31$. Общее количество таких значений равно $31 - 0 + 1 = 32$.

Ответ: 32

В данном случае $a = \sqrt{2} = 2^{1/2}$, $b = \sqrt[4]{3} = 3^{1/4}$ и $n=100$.

Общий член разложения имеет вид:

$T_{k+1} = C_{100}^k (\sqrt{2})^{100-k} (\sqrt[4]{3})^k = C_{100}^k (2^{1/2})^{100-k} (3^{1/4})^k = C_{100}^k 2^{\frac{100-k}{2}} 3^{\frac{k}{4}}$

Для того чтобы член был рациональным, показатели степеней у чисел 2 и 3 должны быть целыми числами:

$\begin{cases} \frac{100-k}{2} \in \mathbb{Z} \\ \frac{k}{4} \in \mathbb{Z} \end{cases}$

Как и в предыдущем пункте, из второго условия следует, что $k$ должно быть кратно 4. Если $k$ кратно 4, то оно автоматически является четным, и первое условие ($\frac{100-k}{2} = 50 - \frac{k}{2}$) также выполняется. Следовательно, нам нужно найти все значения $k$, кратные 4.

Индекс $k$ изменяется в диапазоне $0 \le k \le 100$.

Возможные значения $k$: 0, 4, 8, ..., 100.

Чтобы найти их количество, разделим верхнюю границу на 4 и учтем 0: $\frac{100}{4} = 25$. Значит, $k$ может принимать значения $4 \cdot 0, 4 \cdot 1, \dots, 4 \cdot 25$. Общее количество таких значений равно $25 - 0 + 1 = 26$.

Ответ: 26

352. Доказать, что сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения бинома $(x + a)^n$ равна $2^n$.

Для доказательства воспользуемся формулой бинома Ньютона, которая определяет разложение степени двучлена $(x+a)^n$:

$(x+a)^n = C_n^0 x^n a^0 + C_n^1 x^{n-1} a^1 + C_n^2 x^{n-2} a^2 + \dots + C_n^k x^{n-k} a^k + \dots + C_n^n x^0 a^n$

Или в более компактной форме с использованием знака суммирования:

$(x+a)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} a^k$

Здесь $C_n^k$ (где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$) — это биномиальные коэффициенты. Нам необходимо доказать, что сумма всех этих коэффициентов равна $2^n$. То есть, нам нужно доказать равенство:

$S = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n$

Чтобы получить эту сумму из формулы бинома Ньютона, достаточно подставить в нее такие значения $x$ и $a$, при которых множители $x^{n-k}a^k$ будут равны единице для всех $k$ от 0 до $n$. Это достигается, если положить $x=1$ и $a=1$.

Подставим $x=1$ и $a=1$ в формулу разложения бинома.

Левая часть равенства примет вид:

$(1+1)^n = 2^n$

Правая часть равенства примет вид:

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k (1)^{n-k} (1)^k = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot 1 \cdot 1 = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$

Раскрывая знак суммы, получаем:

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n$

Приравнивая левую и правую части, мы получаем искомое тождество:

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n$

Таким образом, мы доказали, что сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения бинома $(x+a)^n$ действительно равна $2^n$.

Ответ: Утверждение доказывается с помощью формулы бинома Ньютона $(x+a)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} a^k$. При подстановке в это тождество значений $x=1$ и $a=1$ оно принимает вид $(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$, откуда следует, что $2^n = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n$.

353. Пользуясь формулой бинома Ньютона, вычислить сумму

$C_5^0 + 2C_5^1 + 2^2C_5^2 + 2^3C_5^3 + 2^4C_5^4 + 2^5C_5^5.$

Для вычисления данной суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона, которая имеет следующий вид:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1}b^1 + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

где $C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты.

Рассмотрим выражение, сумму которого необходимо найти:

$S = C_5^0 + 2C_5^1 + 2^2C_5^2 + 2^3C_5^3 + 2^4C_5^4 + 2^5C_5^5$

Мы можем переписать это выражение, заметив, что $C_5^0 = C_5^0 \cdot 1^5 \cdot 2^0$. Тогда каждый член суммы можно представить в виде $C_5^k \cdot 1^{5-k} \cdot 2^k$.

Таким образом, наша сумма принимает вид:

$S = C_5^0 \cdot 1^5 \cdot 2^0 + C_5^1 \cdot 1^4 \cdot 2^1 + C_5^2 \cdot 1^3 \cdot 2^2 + C_5^3 \cdot 1^2 \cdot 2^3 + C_5^4 \cdot 1^1 \cdot 2^4 + C_5^5 \cdot 1^0 \cdot 2^5$

Сравнивая полученное выражение с общей формулой бинома Ньютона, мы можем заключить, что данная сумма является разложением бинома $(a+b)^n$ при следующих значениях:

$n=5$, $a=1$, $b=2$.

Следовательно, искомая сумма равна $(1+2)^5$.

Вычислим это значение:

$S = (1+2)^5 = 3^5$

$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$

Ответ: 243

354. Найти член разложения бинома $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{12}$, содержащий $\frac{1}{x}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В нашем случае дан бином $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{12}$. Определим его компоненты для формулы:

• $a = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$
• $b = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$
• $n = 12$

Подставим эти значения в формулу общего члена разложения:

$T_{k+1} = C_{12}^k (x^{1/3})^{12-k} (x^{-1/2})^k$.

Упростим часть выражения, содержащую переменную $x$, используя свойства степеней:

$(x^{1/3})^{12-k} (x^{-1/2})^k = x^{\frac{12-k}{3}} \cdot x^{-\frac{k}{2}} = x^{\frac{12-k}{3} - \frac{k}{2}}$.

По условию задачи, мы ищем член разложения, который содержит $\frac{1}{x}$, что эквивалентно $x^{-1}$. Для этого необходимо, чтобы показатель степени у переменной $x$ был равен -1. Составим и решим уравнение:

$\frac{12-k}{3} - \frac{k}{2} = -1$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю 6:

$\frac{2(12-k) - 3k}{6} = -1$

$24 - 2k - 3k = -6$

$24 - 5k = -6$

$5k = 24 + 6$

$5k = 30$

$k = 6$.

Мы получили целое значение $k=6$, которое удовлетворяет условию $0 \leq k \leq n$ (так как $0 \leq 6 \leq 12$). Это означает, что искомый член является $(k+1)$-м, то есть $(6+1)=7$-м членом разложения.

Теперь найдем сам член, вычислив биномиальный коэффициент $C_{12}^6$:

$C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.

Проведем сокращения для упрощения вычислений:

$C_{12}^6 = \frac{12}{6 \cdot 2} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{9}{3} \cdot \frac{8}{4} \cdot 11 \cdot 7 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 = 924$.

Итак, коэффициент искомого члена равен 924. Сам член равен:

$T_7 = C_{12}^6 x^{-1} = 924x^{-1} = \frac{924}{x}$.

Ответ: $\frac{924}{x}$.

355. Найти член разложения бинома $(\frac{x}{a} + \frac{a}{x})^{12}$, содержащий $x^4$.

Для нахождения члена разложения бинома, содержащего $x^4$, воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона $(p+q)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k p^{n-k} q^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае имеем бином $(\frac{x}{a} + \frac{a}{x})^{12}$. Здесь $p = \frac{x}{a}$, $q = \frac{a}{x}$ и $n = 12$.

Подставим эти значения в формулу общего члена:

$T_{k+1} = C_{12}^k \left(\frac{x}{a}\right)^{12-k} \left(\frac{a}{x}\right)^k$

Теперь упростим это выражение, сгруппировав степени $x$ и $a$:

$T_{k+1} = C_{12}^k \frac{x^{12-k}}{a^{12-k}} \cdot \frac{a^k}{x^k} = C_{12}^k x^{(12-k)-k} a^{k-(12-k)} = C_{12}^k x^{12-2k} a^{2k-12}$

По условию задачи, нам нужен член, содержащий $x^4$. Это означает, что степень переменной $x$ должна быть равна 4:

$12 - 2k = 4$

Решим это уравнение относительно $k$:

$2k = 12 - 4$

$2k = 8$

$k = 4$

Таким образом, искомый член является $(k+1)$-м, то есть $(4+1) = 5$-м членом разложения.

Теперь найдем сам член, подставив $k=4$ в формулу для $T_{k+1}$:

$T_5 = C_{12}^4 x^{12-2 \cdot 4} a^{2 \cdot 4 - 12} = C_{12}^4 x^{12-8} a^{8-12} = C_{12}^4 x^4 a^{-4}$

Осталось вычислить биномиальный коэффициент $C_{12}^4$:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{11880}{24} = 495$

Подставим значение коэффициента в выражение для $T_5$:

$T_5 = 495 x^4 a^{-4} = 495 \frac{x^4}{a^4}$

Ответ: $495 \frac{x^4}{a^4}$

356. Найти пятый член разложения бинома $(\frac{a}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{a})^m$, если коэффициент третьего члена равен 66.

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения $(u+v)^m$:

$(u+v)^m = \sum_{k=0}^{m} C_m^k u^{m-k} v^k$

Общий $(k+1)$-й член этого разложения имеет вид:

$T_{k+1} = C_m^k u^{m-k} v^k$, где $C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$ – биномиальный коэффициент.

В нашем случае дан бином $(\frac{a}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{a})^m$. Следовательно, $u = \frac{a}{\sqrt{x}}$ и $v = \frac{\sqrt{x}}{a}$.

Сначала необходимо найти показатель степени $m$. По условию, коэффициент третьего члена разложения равен 66.

Третий член разложения $T_3$ соответствует $k+1 = 3$, то есть $k=2$. Его коэффициент — это биномиальный коэффициент $C_m^2$.

$C_m^2 = 66$

Используем формулу для $C_m^k$:

$C_m^2 = \frac{m!}{2!(m-2)!} = \frac{m(m-1)(m-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (m-2)!} = \frac{m(m-1)}{2}$

Составим и решим уравнение относительно $m$:

$\frac{m(m-1)}{2} = 66$

$m(m-1) = 132$

$m^2 - m - 132 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529 = 23^2$

$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Поскольку показатель степени бинома $m$ должен быть натуральным числом, мы принимаем значение $m = 12$.

Теперь, зная $m=12$, мы можем найти пятый член разложения, $T_5$. Пятый член соответствует $k+1=5$, то есть $k=4$.

$T_5 = C_{12}^4 (\frac{a}{\sqrt{x}})^{12-4} (\frac{\sqrt{x}}{a})^4 = C_{12}^4 (\frac{a}{\sqrt{x}})^8 (\frac{\sqrt{x}}{a})^4$

Вычислим биномиальный коэффициент $C_{12}^4$:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$

Теперь упростим выражение с переменными $a$ и $x$:

$(\frac{a}{\sqrt{x}})^8 (\frac{\sqrt{x}}{a})^4 = \frac{a^8}{(\sqrt{x})^8} \cdot \frac{(\sqrt{x})^4}{a^4} = \frac{a^8}{x^4} \cdot \frac{x^2}{a^4} = a^{8-4}x^{2-4} = a^4x^{-2} = \frac{a^4}{x^2}$

Наконец, объединим полученные части, чтобы найти полный вид пятого члена разложения:

$T_5 = 495 \cdot \frac{a^4}{x^2}$

Ответ: $495\frac{a^4}{x^2}$