Страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

334. Не решая данное уравнение, составить квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$. По условию задачи, требуется составить новое квадратное уравнение, корнями которого будут числа, обратные корням исходного уравнения, то есть $y_1 = \frac{1}{x_1}$ и $y_2 = \frac{1}{x_2}$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Эта теорема позволяет найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не вычисляя их. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$, сумма корней равна $-b$, а произведение корней равно $c$.

Для исходного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$ коэффициенты равны $b=-6$ и $c=-7$. Таким образом, по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-6) = 6$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -7$.
Поскольку произведение корней не равно нулю ($x_1 \cdot x_2 \neq 0$), то и сами корни не равны нулю ($x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$), а значит, для них существуют обратные числа.

Теперь найдём сумму и произведение корней для нового квадратного уравнения.

Сумма новых корней ($y_1 + y_2$):
$y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2}$.
Подставим известные нам значения суммы и произведения корней $x_1$ и $x_2$:
$y_1 + y_2 = \frac{6}{-7} = -\frac{6}{7}$.

Произведение новых корней ($y_1 \cdot y_2$):
$y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1 \cdot x_2}$.
Подставим известное нам значение произведения корней $x_1$ и $x_2$:
$y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$.

Зная сумму и произведение корней, можно составить искомое приведенное квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета. Если $S$ — сумма корней, а $P$ — произведение корней, то уравнение имеет вид $y^2 - Sy + P = 0$.

Подставим найденные значения $S = -\frac{6}{7}$ и $P = -\frac{1}{7}$:
$y^2 - (-\frac{6}{7})y + (-\frac{1}{7}) = 0$
$y^2 + \frac{6}{7}y - \frac{1}{7} = 0$.

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на 7:
$7 \cdot (y^2 + \frac{6}{7}y - \frac{1}{7}) = 7 \cdot 0$
$7y^2 + 6y - 1 = 0$.

Это и есть искомое квадратное уравнение. Для записи ответа можно использовать стандартное обозначение переменной $x$.

Ответ: $7x^2 + 6x - 1 = 0$.

335. Составить квадратное уравнение, корни которого были бы обратны корням уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Пусть дано квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Для того, чтобы это было квадратное уравнение, необходимо, чтобы коэффициент $a \neq 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Мы ищем новое квадратное уравнение, корнями которого будут числа, обратные корням исходного уравнения, то есть $y_1 = \frac{1}{x_1}$ и $y_2 = \frac{1}{x_2}$.

Для того чтобы обратные величины были определены, корни $x_1$ и $x_2$ не должны быть равны нулю. Корень квадратного уравнения равен нулю тогда и только тогда, когда его свободный член равен нулю, то есть $c = 0$. Следовательно, для существования обратных корней необходимо, чтобы $c \neq 0$. При этом условии искомое уравнение также будет квадратным.

Для составления нового уравнения можно использовать теорему Виета. Согласно теореме Виета для исходного уравнения справедливы соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Найдем сумму $S$ и произведение $P$ новых корней $y_1$ и $y_2$:
$S = y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{c}$.
$P = y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1 x_2} = \frac{1}{c/a} = \frac{a}{c}$.

Квадратное уравнение, имеющее корни $y_1$ и $y_2$, можно записать в приведенном виде как $y^2 - Sy + P = 0$. Подставив найденные значения $S$ и $P$, получаем:
$y^2 - (-\frac{b}{c})y + \frac{a}{c} = 0$
$y^2 + \frac{b}{c}y + \frac{a}{c} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на $c$ (что возможно, так как мы установили $c \neq 0$):
$c \cdot (y^2 + \frac{b}{c}y + \frac{a}{c}) = c \cdot 0$
$cy^2 + by + a = 0$.

Эту же задачу можно решить проще. Пусть $y$ — корень искомого уравнения. По определению, $y = \frac{1}{x}$, где $x$ — корень исходного уравнения. Отсюда $x = \frac{1}{y}$. Подставим это выражение в исходное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:
$a(\frac{1}{y})^2 + b(\frac{1}{y}) + c = 0$
$\frac{a}{y^2} + \frac{b}{y} + c = 0$

Умножив обе части уравнения на $y^2$ (поскольку $y$ не может быть равно нулю), получим:
$a + by + cy^2 = 0$
Расположив слагаемые в стандартном порядке, получаем искомое уравнение: $cy^2 + by + a = 0$.

Так как имя переменной в уравнении не имеет принципиального значения, его можно записать с переменной $x$.

Ответ: $cx^2 + bx + a = 0$.

336. Выразить через p и q:

1) разность квадратов корней уравнения $x^2 + px + q = 0$;

2) сумму и разность кубов корней уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то их сумма $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

Для существования действительных корней необходимо, чтобы дискриминант уравнения был неотрицательным: $D = p^2 - 4q \ge 0$.

1) разность квадратов корней уравнения $x^2 + px + q = 0$

Необходимо выразить $x_1^2 - x_2^2$ через $p$ и $q$. Используем формулу разности квадратов: $x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$.

Из теоремы Виета известно, что $x_1 + x_2 = -p$.

Найдем разность корней $x_1 - x_2$. Для этого сначала найдем ее квадрат: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим известные значения: $(x_1 - x_2)^2 = (-p)^2 - 4q = p^2 - 4q$.

Отсюда $x_1 - x_2 = \pm \sqrt{p^2 - 4q}$. Знак зависит от нумерации корней.

Теперь подставим все в исходное выражение: $x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = (-p)(\pm \sqrt{p^2 - 4q}) = \mp p\sqrt{p^2 - 4q}$.

Поскольку разность может быть вычислена в любом порядке (т.е. $x_1^2 - x_2^2$ или $x_2^2 - x_1^2$), ответ можно записать со знаком $\pm$.

Ответ: $\pm p\sqrt{p^2 - 4q}$.

2) сумму и разность кубов корней уравнения $x^2 + px + q = 0$

Сначала найдем сумму кубов корней, $x_1^3 + x_2^3$. Воспользуемся тождеством $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$.

Подставим значения из теоремы Виета: $x_1^3 + x_2^3 = (-p)^3 - 3(q)(-p) = -p^3 + 3pq = p(3q - p^2)$.

Далее найдем разность кубов корней, $x_1^3 - x_2^3$. Воспользуемся формулой $x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)$.

Из пункта 1) известно, что $x_1 - x_2 = \pm \sqrt{p^2 - 4q}$.

Выразим второй множитель через $p$ и $q$: $x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2$.

Подставим значения из теоремы Виета: $(x_1 + x_2)^2 - x_1x_2 = (-p)^2 - q = p^2 - q$.

Объединим результаты для разности кубов: $x_1^3 - x_2^3 = (\pm \sqrt{p^2 - 4q})(p^2 - q) = \pm(p^2 - q)\sqrt{p^2 - 4q}$.

Ответ: сумма кубов корней равна $p(3q - p^2)$, а разность кубов корней равна $\pm (p^2 - q)\sqrt{p^2 - 4q}$.

337. Известно, что $x + y = 3$ и $xy = -2$. Найти значение выражения $2x^2 - 3xy + 2y^2$.

Для нахождения значения выражения $2x^2 - 3xy + 2y^2$, имея данные $x + y = 3$ и $xy = -2$, преобразуем исходное выражение так, чтобы оно зависело только от известных нам величин $x+y$ и $xy$.

Сначала сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами:

$2x^2 - 3xy + 2y^2 = 2x^2 + 2y^2 - 3xy = 2(x^2 + y^2) - 3xy$

Теперь нам нужно выразить $x^2 + y^2$ через $x+y$ и $xy$. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы:

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

Из этой формулы выразим $x^2 + y^2$:

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

Теперь подставим полученное выражение для $x^2 + y^2$ в нашу исходную преобразованную формулу:

$2(x^2 + y^2) - 3xy = 2((x+y)^2 - 2xy) - 3xy$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2(x+y)^2 - 2 \cdot (2xy) - 3xy = 2(x+y)^2 - 4xy - 3xy = 2(x+y)^2 - 7xy$

Мы получили выражение, которое зависит только от $x+y$ и $xy$. Теперь подставим в него известные из условия значения: $x+y=3$ и $xy=-2$.

$2 \cdot (3)^2 - 7 \cdot (-2) = 2 \cdot 9 - (-14) = 18 + 14 = 32$

Ответ: 32

338. Известно, что $x + y = 1$ и $xy = -2$. Найти значение выражения $x^6 + y^6$.

Для того чтобы найти значение выражения $x^6 + y^6$, зная, что $x+y=1$ и $xy=-2$, мы будем последовательно вычислять значения выражений с меньшими степенями, используя формулы сокращенного умножения.

1. Найдем сумму квадратов $x^2 + y^2$.
Для этого возведем в квадрат известное нам выражение $x+y$:
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
Из этой формулы выразим $x^2 + y^2$:
$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$
Теперь подставим данные из условия задачи: $x+y=1$ и $xy=-2$.
$x^2 + y^2 = 1^2 - 2(-2) = 1 + 4 = 5$.

2. Найдем сумму кубов $x^3 + y^3$.
Воспользуемся формулой, которая связывает сумму кубов с кубом суммы:
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$
Выразим отсюда $x^3 + y^3$:
$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$
Подставим известные значения $x+y=1$ и $xy=-2$:
$x^3 + y^3 = 1^3 - 3(-2)(1) = 1 - (-6) = 1 + 6 = 7$.

3. Найдем искомое значение $x^6 + y^6$.
Представим выражение $x^6 + y^6$ как сумму квадратов, используя $x^6 = (x^3)^2$ и $y^6 = (y^3)^2$:
$x^6 + y^6 = (x^3)^2 + (y^3)^2$
Снова воспользуемся формулой для суммы квадратов $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$, где $a=x^3$ и $b=y^3$:
$x^6 + y^6 = (x^3+y^3)^2 - 2x^3y^3 = (x^3+y^3)^2 - 2(xy)^3$
Подставим ранее вычисленное значение $x^3+y^3=7$ и данное значение $xy=-2$:
$x^6 + y^6 = 7^2 - 2(-2)^3 = 49 - 2(-8) = 49 + 16 = 65$.

Ответ: 65

339.

Разложить на множители многочлен $x^4 + x^2y^2 + y^4$.

Для разложения многочлена $x^4 + x^2y^2 + y^4$ на множители используется метод выделения полного квадрата. Суть метода заключается в том, чтобы добавить и вычесть одно и то же выражение, чтобы получить формулу сокращенного умножения.

1. Исходный многочлен: $x^4 + x^2y^2 + y^4$.

2. Заметим, что $x^4 = (x^2)^2$ и $y^4 = (y^2)^2$. Это похоже на первые два слагаемых в формуле квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Если взять $a=x^2$ и $b=y^2$, то полный квадрат будет равен $(x^2+y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$.

3. В нашем выражении средний член равен $x^2y^2$, а для полного квадрата нам нужен член $2x^2y^2$. Чтобы его получить, мы можем добавить к исходному выражению $x^2y^2$ и, чтобы выражение не изменилось, тут же его вычесть:

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^4 + x^2y^2 + y^4 + x^2y^2) - x^2y^2$

4. Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить полный квадрат:

$(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2$

5. Теперь выражение в скобках представляет собой квадрат суммы $(x^2 + y^2)^2$. Вычитаемое слагаемое $x^2y^2$ также можно представить в виде квадрата $(xy)^2$. Запишем выражение в новом виде:

$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$

6. Мы получили выражение, представляющее собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^2+y^2$ и $b = xy$:

$((x^2 + y^2) - xy)((x^2 + y^2) + xy)$

7. Раскроем внутренние скобки и упорядочим слагаемые внутри каждого множителя по убыванию степеней переменной $x$:

$(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Полученные квадратные трехчлены не разлагаются на множители с действительными коэффициентами, поэтому это окончательный результат разложения.

Ответ: $(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

340. Составить кубическое уравнение со старшим коэффициентом, равным 1, корни которого противоположны корням уравнения $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$.

Пусть дано исходное кубическое уравнение:

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

Обозначим его корни как $x_1, x_2, x_3$.

Требуется составить новое кубическое уравнение со старшим коэффициентом 1, корни которого, обозначим их $y_1, y_2, y_3$, будут противоположны корням исходного уравнения. Это означает, что для каждого корня $x_i$ исходного уравнения существует корень $y_i$ нового уравнения, такой что $y_i = -x_i$.

Для нахождения нового уравнения воспользуемся методом замены переменной. Если $y$ является корнем искомого уравнения, то по условию $y = -x$, где $x$ — корень исходного уравнения. Из этого соотношения выразим $x$:

$x = -y$

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$:

$(-y)^3 - 2(-y)^2 - (-y) + 2 = 0$

Выполним преобразования и упростим полученное выражение:

$-y^3 - 2(y^2) + y + 2 = 0$

$-y^3 - 2y^2 + y + 2 = 0$

Мы получили кубическое уравнение для переменной $y$. По условию задачи, старший коэффициент искомого уравнения (коэффициент при старшей степени переменной) должен быть равен 1. В нашем случае он равен -1. Чтобы привести уравнение к требуемому виду, умножим обе его части на -1:

$-1 \cdot (-y^3 - 2y^2 + y + 2) = -1 \cdot 0$

$y^3 + 2y^2 - y - 2 = 0$

Это и есть искомое уравнение. Так как имя переменной не имеет значения, мы можем записать его, используя переменную $x$:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$

Ответ: $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$

341. Составить уравнение четвёртой степени со старшим коэффициентом, равным 1, корни которого противоположны корням уравнения $x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 2x + 15 = 0$.

Составление уравнения с противоположными корнями

Пусть дано исходное уравнение $P(x) = x⁴ + 2x³ - 16x² - 2x + 15 = 0$. Обозначим его корни как $x_1, x_2, x_3, x_4$.

Требуется составить новое уравнение четвёртой степени $Q(y) = 0$ со старшим коэффициентом, равным 1, корни которого, обозначим их $y_1, y_2, y_3, y_4$, будут противоположны корням исходного уравнения. Это означает, что для каждого корня $x_i$ исходного уравнения выполняется равенство $y_i = -x_i$ для соответствующего корня $y_i$ нового уравнения.

Из соотношения $y = -x$ следует, что $x = -y$. Если $x$ является корнем исходного уравнения, то есть $P(x)=0$, то $y=-x$ будет корнем нового уравнения. Чтобы найти это новое уравнение, достаточно подставить $x = -y$ в исходное.

Выполним подстановку $x = -y$ в уравнение $x⁴ + 2x³ - 16x² - 2x + 15 = 0$: $$(-y)⁴ + 2(-y)³ - 16(-y)² - 2(-y) + 15 = 0$$

Теперь упростим полученное выражение. Общее правило гласит, что при замене $x$ на $-x$ коэффициенты при нечётных степенях переменной меняют знак, а коэффициенты при чётных степенях остаются без изменений.

Проверим это:
Член с $x⁴$: $(-y)⁴ = y⁴$. Знак не меняется.
Член с $x³$: $2(-y)³ = 2(-y³) = -2y³$. Знак меняется.
Член с $x²$: $-16(-y)² = -16(y²) = -16y²$. Знак не меняется.
Член с $x$: $-2(-y) = 2y$. Знак меняется.
Свободный член (соответствует $x⁰$): $15$. Знак не меняется.

Собрав все члены вместе, получаем уравнение для $y$: $$y⁴ - 2y³ - 16y² + 2y + 15 = 0$$

Это уравнение является уравнением четвёртой степени, его старший коэффициент равен 1, и его корни по построению противоположны корням исходного уравнения. Для итоговой записи, как правило, используется переменная $x$, поэтому просто заменим $y$ на $x$.

Ответ: $x⁴ - 2x³ - 16x² + 2x + 15 = 0$

342. Решить уравнение $x^3 + 3\sqrt{2}x^2 + 5x + \sqrt{2} = 0$, если известно, что произведение двух его корней равно 1.

Для решения кубического уравнения $x^3 + 3\sqrt{2}x^2 + 5x + \sqrt{2} = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Пусть $x_1$, $x_2$ и $x_3$ — корни данного уравнения. Для общего вида кубического уравнения $ax^3+bx^2+cx+d=0$ справедливы следующие соотношения между его корнями и коэффициентами:

$x_1 + x_2 + x_3 = -b/a$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = c/a$

$x_1x_2x_3 = -d/a$

В нашем случае коэффициенты равны $a=1$, $b=3\sqrt{2}$, $c=5$, $d=\sqrt{2}$. Следовательно, формулы Виета для данного уравнения выглядят так:

$x_1 + x_2 + x_3 = -3\sqrt{2}$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 5$

$x_1x_2x_3 = -\sqrt{2}$

По условию задачи известно, что произведение двух корней равно 1. Пусть это будут корни $x_1$ и $x_2$, то есть $x_1x_2 = 1$. Подставим это значение в третье соотношение Виета:

$(x_1x_2) \cdot x_3 = -\sqrt{2}$

$1 \cdot x_3 = -\sqrt{2}$

$x_3 = -\sqrt{2}$

Итак, один из корней найден: $x_3 = -\sqrt{2}$. Чтобы найти два других корня, можно разделить исходный многочлен на двучлен $(x - x_3)$, то есть на $(x + \sqrt{2})$, поскольку корень $x_3$ обращает многочлен в ноль. Выполнение деления многочленов (например, столбиком) приводит к следующему результату:

$(x^3 + 3\sqrt{2}x^2 + 5x + \sqrt{2}) \div (x + \sqrt{2}) = x^2 + 2\sqrt{2}x + 1$

Теперь необходимо решить полученное квадратное уравнение $x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 = 0$, чтобы найти оставшиеся корни $x_1$ и $x_2$. Для нахождения его корней воспользуемся стандартной формулой. Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = (2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 8 - 4 = 4$

Теперь находим корни:

$x = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-2\sqrt{2} \pm 2}{2} = -\sqrt{2} \pm 1$

Таким образом, остальные два корня равны $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{2}$. Все три корня уравнения найдены.

Ответ: $-\sqrt{2}$; $1 - \sqrt{2}$; $-1 - \sqrt{2}$.