Номер 335, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

335. Составить квадратное уравнение, корни которого были бы обратны корням уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Пусть дано квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Для того, чтобы это было квадратное уравнение, необходимо, чтобы коэффициент $a \neq 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Мы ищем новое квадратное уравнение, корнями которого будут числа, обратные корням исходного уравнения, то есть $y_1 = \frac{1}{x_1}$ и $y_2 = \frac{1}{x_2}$.

Для того чтобы обратные величины были определены, корни $x_1$ и $x_2$ не должны быть равны нулю. Корень квадратного уравнения равен нулю тогда и только тогда, когда его свободный член равен нулю, то есть $c = 0$. Следовательно, для существования обратных корней необходимо, чтобы $c \neq 0$. При этом условии искомое уравнение также будет квадратным.

Для составления нового уравнения можно использовать теорему Виета. Согласно теореме Виета для исходного уравнения справедливы соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Найдем сумму $S$ и произведение $P$ новых корней $y_1$ и $y_2$:
$S = y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{c}$.
$P = y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1 x_2} = \frac{1}{c/a} = \frac{a}{c}$.

Квадратное уравнение, имеющее корни $y_1$ и $y_2$, можно записать в приведенном виде как $y^2 - Sy + P = 0$. Подставив найденные значения $S$ и $P$, получаем:
$y^2 - (-\frac{b}{c})y + \frac{a}{c} = 0$
$y^2 + \frac{b}{c}y + \frac{a}{c} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на $c$ (что возможно, так как мы установили $c \neq 0$):
$c \cdot (y^2 + \frac{b}{c}y + \frac{a}{c}) = c \cdot 0$
$cy^2 + by + a = 0$.

Эту же задачу можно решить проще. Пусть $y$ — корень искомого уравнения. По определению, $y = \frac{1}{x}$, где $x$ — корень исходного уравнения. Отсюда $x = \frac{1}{y}$. Подставим это выражение в исходное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:
$a(\frac{1}{y})^2 + b(\frac{1}{y}) + c = 0$
$\frac{a}{y^2} + \frac{b}{y} + c = 0$

Умножив обе части уравнения на $y^2$ (поскольку $y$ не может быть равно нулю), получим:
$a + by + cy^2 = 0$
Расположив слагаемые в стандартном порядке, получаем искомое уравнение: $cy^2 + by + a = 0$.

Так как имя переменной в уравнении не имеет принципиального значения, его можно записать с переменной $x$.

Ответ: $cx^2 + bx + a = 0$.