Номер 333, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

333. Доказать, что многочлен $(x^{n-1} - 1)(x^n - 1)(x^{n+1} - 1)$, где $n \in N$, делится на произведение $(x-1)(x^2-1)(x^3-1)$.

Для доказательства того, что многочлен $P(x) = (x^{n-1}-1)(x^n-1)(x^{n+1}-1)$, где $n \in \mathbb{N}$, делится на произведение $Q(x) = (x-1)(x^2-1)(x^3-1)$, необходимо показать, что частное $\frac{P(x)}{Q(x)}$ является многочленом.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $n=1$

При $n=1$ многочлен $P(x)$ принимает вид: $P(x) = (x^{1-1}-1)(x^1-1)(x^{1+1}-1) = (x^0-1)(x-1)(x^2-1) = (1-1)(x-1)(x^2-1) = 0$.

Нулевой многочлен делится на любой другой многочлен, не равный тождественно нулю. Так как $Q(x)$ не является нулевым многочленом, утверждение для $n=1$ верно.

Случай 2: $n \ge 2$

Для удобства введем обозначение для многочлена $[k]_x = \frac{x^k-1}{x-1} = 1 + x + x^2 + \dots + x^{k-1}$. Тогда любой многочлен вида $x^k-1$ можно представить как $(x-1)[k]_x$.

Перепишем делимое $P(x)$ и делитель $Q(x)$ в новых обозначениях.

$P(x) = \left((x-1)[n-1]_x\right) \left((x-1)[n]_x\right) \left((x-1)[n+1]_x\right) = (x-1)^3 [n-1]_x [n]_x [n+1]_x$.

$Q(x) = (x-1) \cdot (x^2-1) \cdot (x^3-1) = (x-1) \cdot \left((x-1)[2]_x\right) \cdot \left((x-1)[3]_x\right) = (x-1)^3 [2]_x [3]_x$.

Теперь рассмотрим их частное: $\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{(x-1)^3 [n-1]_x [n]_x [n+1]_x}{(x-1)^3 [2]_x [3]_x} = \frac{[n-1]_x [n]_x [n+1]_x}{[2]_x [3]_x}$.

Чтобы доказать, что это частное является многочленом, нужно показать, что многочлен в числителе $[n-1]_x [n]_x [n+1]_x$ делится на каждый из многочленов в знаменателе: $[2]_x$ и $[3]_x$.

Многочлены $[2]_x = x+1$ и $[3]_x = x^2+x+1$ являются взаимно простыми (у них нет общих корней), поэтому достаточно доказать делимость на каждый из них в отдельности.

1. Делимость на $[2]_x = x+1$

Многочлен $[k]_x$ делится на $[2]_x = x+1$ тогда и только тогда, когда корень многочлена $x+1$, то есть $x=-1$, является корнем $[k]_x$. Проверим значение $[k]_x$ при $x=-1$: $[k]_{-1} = 1 + (-1) + (-1)^2 + \dots + (-1)^{k-1}$. Эта сумма равна 0, если $k$ — четное число, и 1, если $k$ — нечетное. Следовательно, $[k]_x$ делится на $[2]_x$ тогда и только тогда, когда $k$ является четным числом.

Числитель представляет собой произведение $[n-1]_x [n]_x [n+1]_x$. Числа $n-1, n, n+1$ — это три последовательных целых числа. Среди любых трех последовательных целых чисел обязательно есть хотя бы одно четное число. Пусть это число — $k_{even}$. Тогда соответствующий множитель $[k_{even}]_x$ в числителе будет делиться на $[2]_x$, а значит, и всё произведение будет делиться на $[2]_x$.

2. Делимость на $[3]_x = x^2+x+1$

Многочлен $[k]_x$ делится на $[3]_x = x^2+x+1$ тогда и только тогда, когда корни многочлена $x^2+x+1$ являются корнями $[k]_x$. Корни $x^2+x+1=0$ — это комплексные кубические корни из единицы $\omega$ и $\omega^2$, где $\omega^3=1$ и $\omega \ne 1$.

Проверим значение $[k]_x$ при $x=\omega$: $[k]_{\omega} = \frac{\omega^k-1}{\omega-1}$. Поскольку $\omega-1 \ne 0$, значение $[k]_\omega$ равно нулю тогда и только тогда, когда $\omega^k - 1 = 0$, то есть $\omega^k=1$. Это условие выполняется, если $k$ является кратным 3.

Числа $n-1, n, n+1$ — это три последовательных целых числа. Среди любых трех последовательных целых чисел обязательно есть ровно одно, кратное 3. Пусть это число — $k_{mult3}$. Тогда соответствующий множитель $[k_{mult3}]_x$ в числителе будет делиться на $[3]_x$, а значит, и всё произведение будет делиться на $[3]_x$.

Поскольку произведение $[n-1]_x [n]_x [n+1]_x$ делится на взаимно простые многочлены $[2]_x$ и $[3]_x$, оно делится и на их произведение $[2]_x [3]_x$.

Таким образом, частное $\frac{[n-1]_x [n]_x [n+1]_x}{[2]_x [3]_x}$ является многочленом для любого $n \ge 2$.

Мы рассмотрели все натуральные $n$ и показали, что в каждом случае делимость выполняется.

Ответ: Утверждение доказано.