Номер 331, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

§6. Делимость двучленов x^m ± a^m на x ± a. Глава III. Многочлены. Алгебраические уравнения - номер 331, страница 117.

Условие.

331. Каким должно быть целое число $n$, чтобы числа вида $10^n + 1$ делились на 11?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы число вида $10^n + 1$ делилось нацело на 11, необходимо и достаточно, чтобы оно было сравнимо с нулем по модулю 11. Запишем это условие в виде сравнения:

$10^n + 1 \equiv 0 \pmod{11}$

Перенесем 1 в правую часть сравнения:

$10^n \equiv -1 \pmod{11}$

Теперь рассмотрим основание степени, число 10. При делении на 11 число 10 дает в остатке 10, что также можно представить как остаток -1, поскольку $10 = 1 \cdot 11 - 1$. Таким образом, мы можем записать:

$10 \equiv -1 \pmod{11}$

Подставим это значение в наше сравнение для степеней:

$(-1)^n \equiv -1 \pmod{11}$

Проанализируем, при каких целых значениях $n$ это сравнение будет верным.

1. Если $n$ — четное число, то есть $n = 2k$ для некоторого целого $k$, то $(-1)^n = (-1)^{2k} = 1$. Сравнение принимает вид $1 \equiv -1 \pmod{11}$, что равносильно $2 \equiv 0 \pmod{11}$. Это неверно, так как 2 не делится на 11.

2. Если $n$ — нечетное число, то есть $n = 2k + 1$ для некоторого целого $k$, то $(-1)^n = (-1)^{2k+1} = -1$. Сравнение принимает вид $-1 \equiv -1 \pmod{11}$. Это тождество, которое верно всегда.

Следовательно, показатель степени $n$ должен быть нечетным целым числом.

В задаче указано, что $n$ — целое число. Однако, чтобы выражение $10^n+1$ было целым числом (что необходимо для постановки вопроса о делимости нацело), $n$ должно быть неотрицательным ($n \ge 0$). Если $n$ — отрицательное число (например, $n=-1$), то $10^{-1}+1 = 0.1+1=1.1$ — это дробное число, и вопрос о его делимости на 11 в целых числах не имеет смысла.

Итак, мы ищем числа $n$, которые являются одновременно неотрицательными и нечетными. Поскольку 0 — четное число, оно нам не подходит. Значит, $n$ должно быть положительным нечетным числом, то есть нечетным натуральным числом.

Ответ: $n$ должно быть любым нечетным натуральным числом. Это можно записать в виде $n = 2k - 1$, где $k$ — любое натуральное число ($k \in \mathbb{N}$), или $n = 2k + 1$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$).