gdz.top
Номер 327, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава III. Многочлены. Алгебраические уравнения. §5. Решение алгебраических уравнений разложением на множители - номер 327, страница 116.
№326
№327 (с. 116)
Условие. №327 (с. 116)
327. Доказать, что уравнение $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$ заменой $x + \frac{1}{x} = t$ сводится к уравнению $at^2 + bt + c - 2a = 0$.
Решение 1. №327 (с. 116)
Решение 2. №327 (с. 116)
Решение 3. №327 (с. 116)
Решение 4. №327 (с. 116)
Рассмотрим исходное уравнение: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$.
Это так называемое симметричное (или возвратное) уравнение четвертой степени, поскольку коэффициенты, равноудаленные от начала и конца, равны.
Предположим, что $a \neq 0$, иначе уравнение не будет четвертой степени. При $a \neq 0$, $x=0$ не является корнем уравнения, так как подстановка $x=0$ в левую часть дает $a$, что не равно нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$, поскольку $x \neq 0$:
$\frac{ax^4}{x^2} + \frac{bx^3}{x^2} + \frac{cx^2}{x^2} + \frac{bx}{x^2} + \frac{a}{x^2} = \frac{0}{x^2}$
После упрощения получаем:
$ax^2 + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{x^2} = 0$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами:
$(ax^2 + \frac{a}{x^2}) + (bx + \frac{b}{x}) + c = 0$
Вынесем общие множители за скобки:
$a(x^2 + \frac{1}{x^2}) + b(x + \frac{1}{x}) + c = 0$
Теперь используем замену, предложенную в условии: $t = x + \frac{1}{x}$.
Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$, возведем равенство для замены в квадрат:
$t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$
Из этого следует, что:
$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$
Подставим полученные выражения для $x + \frac{1}{x}$ и $x^2 + \frac{1}{x^2}$ в преобразованное уравнение:
$a(t^2 - 2) + b(t) + c = 0$
Раскроем скобки:
$at^2 - 2a + bt + c = 0$
Перегруппируем члены, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:
$at^2 + bt + c - 2a = 0$
Таким образом, мы получили в точности то уравнение, которое требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что уравнение $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$ заменой $x + \frac{1}{x} = t$ сводится к уравнению $at^2 + bt + c - 2a = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 327 расположенного на странице 116 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №327 (с. 116), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.