Номер 320, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

320. 1) $x^2(x-2)(6x+1) + x(5x+3) = 1;$

2) $x^2(3x+1) - (x^2+1)^2 = 3.$

1) $x^2(x-2)(6x+1) + x(5x+3) = 1$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения и приведем его к стандартному виду многочлена.

Шаг 1: Раскроем произведение $(x-2)(6x+1)$.

$(x-2)(6x+1) = x \cdot 6x + x \cdot 1 - 2 \cdot 6x - 2 \cdot 1 = 6x^2 + x - 12x - 2 = 6x^2 - 11x - 2$.

Шаг 2: Умножим полученное выражение на $x^2$.

$x^2(6x^2 - 11x - 2) = 6x^4 - 11x^3 - 2x^2$.

Шаг 3: Раскроем вторую часть выражения $x(5x+3)$.

$x(5x+3) = 5x^2 + 3x$.

Шаг 4: Подставим все в исходное уравнение и упростим.

$(6x^4 - 11x^3 - 2x^2) + (5x^2 + 3x) = 1$

$6x^4 - 11x^3 - 2x^2 + 5x^2 + 3x - 1 = 0$

$6x^4 - 11x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 0$

Шаг 5: Найдем корни полученного уравнения четвертой степени. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена ($-1$), а $q$ — делитель старшего коэффициента (6). Возможные корни: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}$.

Проверим некоторые из них подстановкой в уравнение:

• При $x=1$: $6(1)^4 - 11(1)^3 + 3(1)^2 + 3(1) - 1 = 6 - 11 + 3 + 3 - 1 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.
• При $x=\frac{1}{3}$: $6(\frac{1}{3})^4 - 11(\frac{1}{3})^3 + 3(\frac{1}{3})^2 + 3(\frac{1}{3}) - 1 = 6(\frac{1}{81}) - 11(\frac{1}{27}) + 3(\frac{1}{9}) + 1 - 1 = \frac{6}{81} - \frac{33}{81} + \frac{27}{81} = \frac{0}{81} = 0$. Значит, $x=\frac{1}{3}$ является корнем.
• При $x=-\frac{1}{2}$: $6(-\frac{1}{2})^4 - 11(-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2 + 3(-\frac{1}{2}) - 1 = 6(\frac{1}{16}) - 11(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) - \frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{8} + \frac{11}{8} + \frac{6}{8} - \frac{12}{8} - \frac{8}{8} = \frac{3+11+6-12-8}{8} = 0$. Значит, $x=-\frac{1}{2}$ является корнем.

Мы нашли три различных корня: $1$, $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{2}$. Так как исходное уравнение является уравнением четвертой степени, оно имеет не более четырех корней. Дальнейший анализ (деление многочлена на $(x-1)(x-1/3)(x+1/2)$) показывает, что корень $x=1$ имеет кратность 2, а других корней нет.

Ответ: $x \in \{-\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; 1\}$.

2) $x^2(3x+1) - (x^2+1)^2 = 3$

Раскроем скобки и упростим уравнение.

Шаг 1: Раскроем первое слагаемое.

$x^2(3x+1) = 3x^3 + x^2$.

Шаг 2: Раскроем второе слагаемое, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$(x^2+1)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$.

Шаг 3: Подставим полученные выражения в исходное уравнение.

$(3x^3 + x^2) - (x^4 + 2x^2 + 1) = 3$

$3x^3 + x^2 - x^4 - 2x^2 - 1 = 3$

Шаг 4: Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные.

$-x^4 + 3x^3 + (x^2 - 2x^2) - 1 - 3 = 0$

$-x^4 + 3x^3 - x^2 - 4 = 0$

Умножим все уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным.

$x^4 - 3x^3 + x^2 + 4 = 0$

Шаг 5: Найдем корни полученного уравнения. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена 4. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Пусть $P(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + 4$.

• При $x=1$: $P(1) = 1 - 3 + 1 + 4 = 3 \neq 0$.
• При $x=-1$: $P(-1) = 1 - 3(-1) + 1 + 4 = 1 + 3 + 1 + 4 = 9 \neq 0$.
• При $x=2$: $P(2) = 2^4 - 3(2^3) + 2^2 + 4 = 16 - 3(8) + 4 + 4 = 16 - 24 + 8 = 0$. Значит, $x=2$ является корнем.

Шаг 6: Разделим многочлен $x^4 - 3x^3 + x^2 + 4$ на $(x-2)$, чтобы найти остальные корни.

$(x^4 - 3x^3 + x^2 + 4) : (x-2) = x^3 - x^2 - x - 2$.

Теперь решаем кубическое уравнение $x^3 - x^2 - x - 2 = 0$. Проверим снова корень $x=2$.

$2^3 - 2^2 - 2 - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0$. Значит, $x=2$ — корень кратности как минимум 2.

Снова разделим, теперь уже кубический многочлен на $(x-2)$.

$(x^3 - x^2 - x - 2) : (x-2) = x^2 + x + 1$.

Осталось решить квадратное уравнение $x^2 + x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением исходного уравнения является $x=2$.

Ответ: $x=2$.