Номер 325, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

325. Доказать, что если уравнение $x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n = 0$ с целыми коэффициентами $a_1, a_2, ..., a_n$ имеет рациональный корень, то этот корень — целое число.

Пусть дано уравнение $x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n = 0$, где коэффициенты $a_1, a_2, ..., a_n$ являются целыми числами. Отметим, что старший коэффициент (при $x^n$) равен 1.

Предположим, что это уравнение имеет рациональный корень $x = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, $q \neq 0$. Будем считать, что эта дробь несократима, то есть наибольший общий делитель чисел $p$ и $q$ равен 1 (НОД$(p, q) = 1$). Без ограничения общности можно считать, что $q > 0$.

Подставим этот корень в исходное уравнение:

$\left(\frac{p}{q}\right)^n + a_1\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + a_2\left(\frac{p}{q}\right)^{n-2} + ... + a_n = 0$

Умножим обе части уравнения на $q^n$, чтобы избавиться от знаменателей:

$p^n + a_1p^{n-1}q + a_2p^{n-2}q^2 + ... + a_nq^n = 0$

Теперь выразим член $p^n$ из этого равенства, перенеся все остальные слагаемые в правую часть:

$p^n = -a_1p^{n-1}q - a_2p^{n-2}q^2 - ... - a_nq^n$

Вынесем $q$ за скобки в правой части:

$p^n = -q(a_1p^{n-1} + a_2p^{n-2}q + ... + a_nq^{n-1})$

Правая часть этого равенства очевидно делится на $q$, поскольку выражение в скобках является целым числом (так как все его составляющие — $a_i, p, q$ — целые числа). Следовательно, и левая часть, $p^n$, также должна делиться на $q$.

Итак, мы имеем, что $q$ делит $p^n$. Но по нашему первоначальному условию, дробь $\frac{p}{q}$ несократима, то есть числа $p$ и $q$ взаимно просты (НОД$(p, q) = 1$). Если целое число $q$ делит степень $p^n$ и при этом взаимно просто с основанием $p$, то это возможно только в том случае, когда $q$ равно 1 (поскольку мы приняли, что $q > 0$).

Таким образом, знаменатель $q$ нашего рационального корня равен 1. Это означает, что корень $x = \frac{p}{q} = \frac{p}{1} = p$ является целым числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия, что рациональный корень $x=p/q$ является несократимой дробью, следует, что $q$ должен быть делителем старшего коэффициента уравнения. Так как старший коэффициент равен 1, то $q$ может быть равен только 1 или -1, а значит, корень $x$ является целым числом.