Номер 326, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

326. Доказать, что если $x_1, x_2$ — корни многочлена $P(x)$, то $P(x)$ делится на многочлен $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$.

Пусть $P(x)$ — многочлен, а $x_1$ и $x_2$ — его корни. По определению корня, это означает, что $P(x_1) = 0$ и $P(x_2) = 0$. Необходимо доказать, что многочлен $P(x)$ делится нацело на многочлен $D(x) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$.

Для начала преобразуем многочлен-делитель $D(x)$. Заметим, что по теореме Виета, числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного трехчлена $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$. Следовательно, этот трехчлен можно разложить на линейные множители: $D(x) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = (x - x_1)(x - x_2)$.

Таким образом, задача сводится к доказательству того, что если $P(x_1) = 0$ и $P(x_2) = 0$, то $P(x)$ делится на произведение $(x - x_1)(x - x_2)$.

Воспользуемся следствием из теоремы Безу (также известным как теорема о корне многочлена). Оно гласит, что если число $c$ является корнем многочлена $P(x)$, то $P(x)$ делится на двучлен $(x - c)$ без остатка.

Поскольку $x_1$ — корень многочлена $P(x)$, то по этой теореме $P(x)$ можно представить в виде произведения: $P(x) = (x - x_1) \cdot Q(x)$, где $Q(x)$ — некоторый многочлен (частное от деления).

Теперь используем второе условие: $x_2$ также является корнем $P(x)$, то есть $P(x_2) = 0$. Подставим $x = x_2$ в полученное выше равенство: $P(x_2) = (x_2 - x_1) \cdot Q(x_2)$. Так как $P(x_2) = 0$, то получаем уравнение: $(x_2 - x_1) \cdot Q(x_2) = 0$.

Рассмотрим два возможных случая.

Если корни различны, то есть $x_1 \neq x_2$, то множитель $(x_2 - x_1)$ отличен от нуля. Чтобы произведение равнялось нулю, необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю: $Q(x_2) = 0$. Это означает, что $x_2$ является корнем многочлена $Q(x)$. Снова применяя теорему о корне, но уже для многочлена $Q(x)$, мы можем утверждать, что $Q(x)$ делится на $(x - x_2)$. То есть существует многочлен $R(x)$ такой, что $Q(x) = (x - x_2) \cdot R(x)$. Подставив это выражение для $Q(x)$ в формулу для $P(x)$, получаем: $P(x) = (x - x_1) \cdot Q(x) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot R(x)$. Это равенство показывает, что $P(x)$ делится на произведение $(x - x_1)(x - x_2)$.

Если же корни совпадают, то есть $x_1 = x_2$, то условие, что $x_1$ и $x_2$ — корни, означает, что $x_1$ является корнем кратности не менее 2. По определению кратного корня, если корень $c$ имеет кратность $k \ge 2$, то многочлен $P(x)$ делится на $(x - c)^k$. Следовательно, $P(x)$ делится на $(x - x_1)^2$. Многочлен-делитель $D(x)$ при $x_1 = x_2$ принимает вид: $D(x) = (x - x_1)(x - x_1) = (x - x_1)^2$. Так как $P(x)$ делится на $(x - x_1)^2$, он, очевидно, делится и на $D(x)$.

Таким образом, в обоих случаях доказано, что многочлен $P(x)$ делится на $(x - x_1)(x - x_2)$, что равносильно делению на $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$.

Ответ: Утверждение доказано.