Номер 323, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

323. Найти действительные корни уравнения:

1) $2x^5 - x^4 + 2x - 1 = 0$;

2) $4x^5 - x^3 - 4x^2 + 1 = 0$;

3) $6x^6 - x^5 - x^4 + 6x^2 - x - 1 = 0$;

4) $4x^6 + 4x^5 - x^4 - 5x^3 - 4x^2 + x + 1 = 0$.

1) $2x^5 - x^4 + 2x - 1 = 0$

Сгруппируем члены уравнения для разложения на множители:

$(2x^5 - x^4) + (2x - 1) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(2x - 1) + 1(2x - 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(2x - 1)$ за скобки:

$(x^4 + 1)(2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.

б) $x^4 + 1 = 0 \implies x^4 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как любое действительное число, возведенное в четвертую степень, является неотрицательным ($x^4 \ge 0$).

Таким образом, единственным действительным корнем уравнения является $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

2) $4x^5 - x^3 - 4x^2 + 1 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(4x^5 - 4x^2) - (x^3 - 1) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$4x^2(x^3 - 1) - 1(x^3 - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^3 - 1)$ за скобки:

$(4x^2 - 1)(x^3 - 1) = 0$

Разложим каждый множитель на более простые, используя формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)$

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Уравнение принимает вид:

$(2x - 1)(2x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

а) $2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$.

б) $2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$.

в) $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

г) $x^2 + x + 1 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, действительными корнями являются $1$, $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{1}{2}$, $x_3 = -\frac{1}{2}$.

3) $6x^6 - x^5 - x^4 + 6x^2 - x - 1 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(6x^6 - x^5 - x^4) + (6x^2 - x - 1) = 0$

Вынесем $x^4$ из первой группы:

$x^4(6x^2 - x - 1) + 1(6x^2 - x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(6x^2 - x - 1)$:

$(x^4 + 1)(6x^2 - x - 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

а) $x^4 + 1 = 0 \implies x^4 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$.

б) $6x^2 - x - 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$D = (-1)^2 - 4(6)(-1) = 1 + 24 = 25$

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 \pm 5}{12}$

$x_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Таким образом, действительными корнями являются $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{3}$.

4) $4x^6 + 4x^5 - x^4 - 5x^3 - 4x^2 + x + 1 = 0$

Попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ – делитель свободного члена (1), а $q$ – делитель старшего коэффициента (4). Возможные корни: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$.

Подстановкой убеждаемся, что корнями являются $x=1$, $x=-1$, $x=\frac{1}{2}$ и $x=-\frac{1}{2}$.
Это означает, что многочлен делится на произведение множителей $(x-1)(x+1)(2x-1)(2x+1) = (x^2-1)(4x^2-1) = 4x^4 - 5x^2 + 1$.

Разделим исходный многочлен $4x^6 + 4x^5 - x^4 - 5x^3 - 4x^2 + x + 1$ на многочлен $4x^4 - 5x^2 + 1$. В результате деления (например, столбиком) получаем частное $x^2 + x + 1$. Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$(4x^4 - 5x^2 + 1)(x^2 + x + 1) = 0$

Рассмотрим каждый множитель:

а) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$. Корни этого уравнения мы уже нашли: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = \frac{1}{2}$, $x_4 = -\frac{1}{2}$.

б) $x^2 + x + 1 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Следовательно, действительными корнями исходного уравнения являются найденные четыре значения.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = \frac{1}{2}$, $x_4 = -\frac{1}{2}$.