Страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

316. Решить уравнение, если известен один его корень:

1) $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = 0, x_1 = 2;$

2) $2x^4 + 12x^3 + 11x^2 + 6x + 5 = 0, x_1 = -1;$

3) $2x^5 - x^4 - 12x^3 + 6x^2 + 18x - 9 = 0, x_1 = \frac{1}{2};$

4) $3x^5 + x^4 - 15x^3 - 5x^2 + 12x + 4 = 0, x_1 = -\frac{1}{3}.$

1) Дано уравнение $x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = 0$ и один из его корней $x_1 = 2$.
Согласно теореме Безу, если $x_1 = 2$ является корнем многочлена, то многочлен $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$ делится на $(x - 2)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, чтобы понизить степень уравнения.
$(x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6) : (x - 2) = x^3 + 3x^2 - x - 3$.
Теперь исходное уравнение можно записать в виде:
$(x - 2)(x^3 + 3x^2 - x - 3) = 0$.
Найдем корни уравнения $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$. Сгруппируем слагаемые:
$x^2(x + 3) - 1(x + 3) = 0$
$(x^2 - 1)(x + 3) = 0$
$(x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0$
Отсюда получаем еще три корня: $x_2 = 1$, $x_3 = -1$, $x_4 = -3$.
Таким образом, все корни исходного уравнения: $2, 1, -1, -3$.
Ответ: $x \in \{-3, -1, 1, 2\}$.

2) Дано уравнение $2x^4 + 12x^3 + 11x^2 + 6x + 5 = 0$ и один из его корней $x_1 = -1$.
Так как $x_1 = -1$ является корнем, то многочлен делится на $(x - (-1)) = (x + 1)$. Выполним деление:
$(2x^4 + 12x^3 + 11x^2 + 6x + 5) : (x + 1) = 2x^3 + 10x^2 + x + 5$.
Получаем уравнение:
$(x + 1)(2x^3 + 10x^2 + x + 5) = 0$.
Решим уравнение $2x^3 + 10x^2 + x + 5 = 0$. Сгруппируем слагаемые:
$2x^2(x + 5) + 1(x + 5) = 0$
$(2x^2 + 1)(x + 5) = 0$.
Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1) $x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$.
2) $2x^2 + 1 = 0 \implies 2x^2 = -1 \implies x^2 = -1/2$.
Это уравнение не имеет действительных корней. В поле комплексных чисел корни равны $x = \pm \sqrt{-1/2} = \pm i\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{i\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, все корни исходного уравнения: $-1, -5, \frac{i\sqrt{2}}{2}, -\frac{i\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $x \in \{-5, -1, -\frac{i\sqrt{2}}{2}, \frac{i\sqrt{2}}{2}\}$.

3) Дано уравнение $2x^5 - x^4 - 12x^3 + 6x^2 + 18x - 9 = 0$ и один из его корней $x_1 = 1/2$.
Так как $x_1 = 1/2$ является корнем, то многочлен делится на $(x - 1/2)$. Выполним деление:
$(2x^5 - x^4 - 12x^3 + 6x^2 + 18x - 9) : (x - 1/2) = 2x^4 - 12x^2 + 18$.
Получаем уравнение:
$(x - 1/2)(2x^4 - 12x^2 + 18) = 0$.
Решим уравнение $2x^4 - 12x^2 + 18 = 0$. Разделим обе части на 2:
$x^4 - 6x^2 + 9 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$):
$y^2 - 6y + 9 = 0$.
Это полный квадрат:
$(y - 3)^2 = 0$.
Отсюда $y = 3$. Это корень кратности 2.
Вернемся к замене:
$x^2 = 3$.
Корни этого уравнения $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.
Так как $y=3$ был корнем кратности 2 для уравнения относительно $y$, то и корни $x=\sqrt{3}$ и $x=-\sqrt{3}$ будут иметь кратность 2.
Таким образом, все корни исходного уравнения: $1/2$, $\sqrt{3}$ (кратность 2), $-\sqrt{3}$ (кратность 2).
Ответ: $x_1 = 1/2$, $x_{2,3} = \sqrt{3}$, $x_{4,5} = -\sqrt{3}$.

4) Дано уравнение $3x^5 + x^4 - 15x^3 - 5x^2 + 12x + 4 = 0$ и один из его корней $x_1 = -1/3$.
Так как $x_1 = -1/3$ является корнем, то многочлен делится на $(x + 1/3)$. Выполним деление:
$(3x^5 + x^4 - 15x^3 - 5x^2 + 12x + 4) : (x + 1/3) = 3x^4 - 15x^2 + 12$.
Получаем уравнение:
$(x + 1/3)(3x^4 - 15x^2 + 12) = 0$.
Решим уравнение $3x^4 - 15x^2 + 12 = 0$. Разделим обе части на 3:
$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$):
$y^2 - 5y + 4 = 0$.
Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета: $y_1 = 1$, $y_2 = 4$.
Вернемся к замене:
1) $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
2) $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Таким образом, все корни исходного уравнения: $-1/3, -1, 1, -2, 2$.
Ответ: $x \in \{-2, -1, -1/3, 1, 2\}$.

Решить уравнение (317–318).

317.

1) $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0;$

2) $x^3 + 3x^2 + 6x - 4 = 0.$

1) $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$

Для решения данного кубического уравнения попробуем найти целые корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем свободного члена.

Свободный член равен 6. Его делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Проверим эти значения путем подстановки в уравнение:

При $x = 1$: $1^3 - 4(1)^2 + 1 + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq 0$.

При $x = -1$: $(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4(1) - 1 + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$.

Так как при $x = -1$ уравнение обращается в верное равенство, то $x_1 = -1$ является одним из корней. Это значит, что многочлен $x^3 - 4x^2 + x + 6$ делится на двучлен $(x - (-1))$, то есть на $(x+1)$, без остатка. Выполним деление многочленов (например, "в столбик" или по схеме Горнера).

$(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x+1) = x^2 - 5x + 6$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$(x+1)(x^2 - 5x + 6) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Мы уже знаем, что $x+1=0$ дает корень $x_1 = -1$. Теперь решим квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$. Можно также найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}$.

$x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$,

$x_3 = \frac{5-1}{2} = 2$.

Следовательно, уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $\{-1; 2; 3\}$.

2) $x^3 + 3x^2 + 6x - 4 = 0$

Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена, равного -4. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Подставим их в уравнение:

При $x = 1$: $1^3 + 3(1)^2 + 6(1) - 4 = 1 + 3 + 6 - 4 = 6 \neq 0$.

При $x = -1$: $(-1)^3 + 3(-1)^2 + 6(-1) - 4 = -1 + 3 - 6 - 4 = -8 \neq 0$.

При $x = 2$: $2^3 + 3(2)^2 + 6(2) - 4 = 8 + 12 + 12 - 4 = 28 \neq 0$.

Проверка показывает, что целых корней у уравнения нет.

Исследуем функцию $f(x) = x^3 + 3x^2 + 6x - 4$. Найдем ее производную:

$f'(x) = 3x^2 + 6x + 6 = 3(x^2 + 2x + 2)$.

Для квадратного трехчлена $x^2 + 2x + 2$ найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент (при $x^2$) положителен, то выражение $x^2 + 2x + 2$ всегда больше нуля. Следовательно, производная $f'(x) > 0$ для любого $x$, а значит функция $f(x)$ строго возрастает.

Это означает, что уравнение $f(x) = 0$ имеет ровно один действительный корень. Поскольку $f(0) = -4$, а $f(1) = 6$, корень находится в интервале $(0, 1)$ и является иррациональным.

Для нахождения точного значения корня используем формулу Кардано. Сначала приведем уравнение к виду $y^3+py+q=0$ с помощью замены $x = y - \frac{a_1}{3a_0} = y - \frac{3}{3 \cdot 1} = y - 1$.

Подставим $x=y-1$ в уравнение:

$(y-1)^3 + 3(y-1)^2 + 6(y-1) - 4 = 0$

$(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) + 3(y^2 - 2y + 1) + 6y - 6 - 4 = 0$

$y^3 - 3y^2 + 3y - 1 + 3y^2 - 6y + 3 + 6y - 10 = 0$

$y^3 + 3y - 8 = 0$

Теперь применим формулу Кардано для $p=3$ и $q=-8$:

$y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}}$

$y = \sqrt[3]{-\frac{-8}{2} + \sqrt{(\frac{-8}{2})^2 + (\frac{3}{3})^3}} + \sqrt[3]{-\frac{-8}{2} - \sqrt{(\frac{-8}{2})^2 + (\frac{3}{3})^3}}$

$y = \sqrt[3]{4 + \sqrt{(-4)^2 + 1^3}} + \sqrt[3]{4 - \sqrt{(-4)^2 + 1^3}}$

$y = \sqrt[3]{4 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{4 - \sqrt{17}}$

Произведем обратную замену $x = y - 1$:

$x = \sqrt[3]{4 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{4 - \sqrt{17}} - 1$

Это единственный действительный корень уравнения.

Ответ: $x = \sqrt[3]{4 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{4 - \sqrt{17}} - 1$.

318. 1) $x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x + 16 = 0;$

2) $x^4 - 3x^3 + x^2 + 3x - 2 = 0.$

1) $x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x + 16 = 0$

Решим данное уравнение методом группировки. Перегруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было выделить общие множители:

$(x^4 - 8x^2 + 16) + (-3x^3 + 12x) = 0$

Выражение в первой скобке является полным квадратом разности $(x^2 - 4)$. Из второй скобки вынесем общий множитель $-3x$:

$(x^2 - 4)^2 - 3x(x^2 - 4) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(x^2 - 4)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 - 4)( (x^2 - 4) - 3x ) = 0$

$(x^2 - 4)(x^2 - 3x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух квадратных уравнений:

1. $x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

2. $x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его, разложив на множители. По теореме Виета, корни уравнения $x_3$ и $x_4$ должны удовлетворять условиям $x_3 \cdot x_4 = -4$ и $x_3 + x_4 = 3$. Подбором находим корни $x_3 = 4$ и $x_4 = -1$.

Уравнение можно записать в виде:

$(x - 4)(x + 1) = 0$

Отсюда $x_3 = 4$, $x_4 = -1$.

Объединяя все найденные корни, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in \{-2, -1, 2, 4\}$.

2) $x^4 - 3x^3 + x^2 + 3x - 2 = 0$

Решим это уравнение также методом группировки. Перегруппируем слагаемые:

$(x^4 + x^2 - 2) + (-3x^3 + 3x) = 0$

Выражение в первой скобке $x^4 + x^2 - 2$ можно разложить на множители, рассмотрев его как квадратное уравнение относительно $x^2$. Пусть $t = x^2$, тогда имеем $t^2 + t - 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$. Следовательно, $t^2 + t - 2 = (t - 1)(t + 2)$, а значит $x^4 + x^2 - 2 = (x^2 - 1)(x^2 + 2)$.

Из второй скобки вынесем общий множитель $-3x$:

$(x^2 - 1)(x^2 + 2) - 3x(x^2 - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2 - 1)$ за скобки:

$(x^2 - 1)( (x^2 + 2) - 3x ) = 0$

$(x^2 - 1)(x^2 - 3x + 2) = 0$

Разложим каждый из множителей на линейные:

Первый множитель $x^2 - 1$ — это разность квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Второй множитель $x^2 - 3x + 2$ — это квадратный трехчлен, корни которого по теореме Виета равны $1$ и $2$. Значит, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Подставим разложения в наше уравнение:

$(x - 1)(x + 1)(x - 1)(x - 2) = 0$

Сгруппируем одинаковые множители:

$(x - 1)^2(x + 1)(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$ (корень кратности 2)

$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

$x - 2 = 0 \implies x_3 = 2$

Таким образом, исходное уравнение имеет три различных корня.

Ответ: $x \in \{-1, 1, 2\}$.

Найти рациональные корни уравнения (319—320).

319.

1) $(2x + 1)(x^3 + 1) + x^2 = 2x(x^3 + 3) - 5;$

2) $(2x^2 - 1)^2 + x(2x - 1)^2 = (x + 1)^2 + 16x^2 - 6.$

1) Исходное уравнение: $(2x + 1)(x^3 + 1) + x^2 = 2x(x^3 + 3) - 5$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть: $(2x + 1)(x^3 + 1) + x^2 = 2x \cdot x^3 + 2x \cdot 1 + 1 \cdot x^3 + 1 \cdot 1 + x^2 = 2x^4 + 2x + x^3 + 1 + x^2 = 2x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 1$.

Правая часть: $2x(x^3 + 3) - 5 = 2x \cdot x^3 + 2x \cdot 3 - 5 = 2x^4 + 6x - 5$.

Приравняем левую и правую части:

$2x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 1 = 2x^4 + 6x - 5$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(2x^4 - 2x^4) + x^3 + x^2 + (2x - 6x) + (1 + 5) = 0$

$x^3 + x^2 - 4x + 6 = 0$.

Теперь найдем рациональные корни полученного кубического уравнения. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень $x = \frac{p}{q}$, то $p$ является делителем свободного члена (6), а $q$ — делителем старшего коэффициента (1).

Возможные значения для $p$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Возможные значения для $q$: $\pm 1$.

Следовательно, возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Проверим эти значения, подставляя их в уравнение $P(x) = x^3 + x^2 - 4x + 6 = 0$:

При $x = 1$: $P(1) = 1^3 + 1^2 - 4(1) + 6 = 1 + 1 - 4 + 6 = 4 \neq 0$.

При $x = -1$: $P(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 4(-1) + 6 = -1 + 1 + 4 + 6 = 10 \neq 0$.

При $x = 2$: $P(2) = 2^3 + 2^2 - 4(2) + 6 = 8 + 4 - 8 + 6 = 10 \neq 0$.

При $x = -2$: $P(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 4(-2) + 6 = -8 + 4 + 8 + 6 = 10 \neq 0$.

При $x = -3$: $P(-3) = (-3)^3 + (-3)^2 - 4(-3) + 6 = -27 + 9 + 12 + 6 = 0$.

Таким образом, $x = -3$ является корнем уравнения.

Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 + x^2 - 4x + 6$ на $(x + 3)$:

$(x^3 + x^2 - 4x + 6) : (x + 3) = x^2 - 2x + 2$.

Уравнение можно переписать в виде: $(x + 3)(x^2 - 2x + 2) = 0$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 2x + 2 = 0$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней, а значит, и рациональных тоже.

Следовательно, единственным рациональным корнем исходного уравнения является $x = -3$.

Ответ: -3.

2) Исходное уравнение: $(2x^2 - 1)^2 + x(2x - 1)^2 = (x + 1)^2 + 16x^2 - 6$.

Раскроем скобки и упростим обе части уравнения.

Левая часть: $(2x^2 - 1)^2 + x(2x - 1)^2 = (4x^4 - 4x^2 + 1) + x(4x^2 - 4x + 1) = 4x^4 - 4x^2 + 1 + 4x^3 - 4x^2 + x = 4x^4 + 4x^3 - 8x^2 + x + 1$.

Правая часть: $(x + 1)^2 + 16x^2 - 6 = (x^2 + 2x + 1) + 16x^2 - 6 = 17x^2 + 2x - 5$.

Приравняем левую и правую части:

$4x^4 + 4x^3 - 8x^2 + x + 1 = 17x^2 + 2x - 5$.

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 17x^2 + x - 2x + 1 + 5 = 0$

$4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6 = 0$.

Для нахождения рациональных корней этого уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни $x = \frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена (6), а $q$ — делитель старшего коэффициента (4).

Делители $p$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Делители $q$: $1, 2, 4$.

Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{3}{4}$.

Проверим некоторые из них, подставляя в $P(x) = 4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6 = 0$:

При $x = 2$: $P(2) = 4(2)^4 + 4(2)^3 - 25(2)^2 - 2 + 6 = 4(16) + 4(8) - 25(4) - 2 + 6 = 64 + 32 - 100 - 2 + 6 = 0$. Корень $x=2$.

При $x = -3$: $P(-3) = 4(-3)^4 + 4(-3)^3 - 25(-3)^2 - (-3) + 6 = 4(81) + 4(-27) - 25(9) + 3 + 6 = 324 - 108 - 225 + 3 + 6 = 0$. Корень $x=-3$.

При $x = \frac{1}{2}$: $P(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2})^4 + 4(\frac{1}{2})^3 - 25(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 6 = 4(\frac{1}{16}) + 4(\frac{1}{8}) - 25(\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} + 6 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{25}{4} - \frac{2}{4} + \frac{24}{4} = \frac{1+2-25-2+24}{4} = 0$. Корень $x=\frac{1}{2}$.

При $x = -\frac{1}{2}$: $P(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^4 + 4(-\frac{1}{2})^3 - 25(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) + 6 = 4(\frac{1}{16}) - 4(\frac{1}{8}) - 25(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} + 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{25}{4} + \frac{1}{2} + 6 = \frac{1-25}{4} + 6 = -6+6=0$. Корень $x=-\frac{1}{2}$.

Мы нашли четыре рациональных корня: $2, -3, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$. Поскольку исходное уравнение является уравнением четвертой степени, оно не может иметь более четырех корней. Следовательно, мы нашли все рациональные корни.

Ответ: -3; -1/2; 1/2; 2.

320. 1) $x^2(x-2)(6x+1) + x(5x+3) = 1;$

2) $x^2(3x+1) - (x^2+1)^2 = 3.$

1) $x^2(x-2)(6x+1) + x(5x+3) = 1$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения и приведем его к стандартному виду многочлена.

Шаг 1: Раскроем произведение $(x-2)(6x+1)$.

$(x-2)(6x+1) = x \cdot 6x + x \cdot 1 - 2 \cdot 6x - 2 \cdot 1 = 6x^2 + x - 12x - 2 = 6x^2 - 11x - 2$.

Шаг 2: Умножим полученное выражение на $x^2$.

$x^2(6x^2 - 11x - 2) = 6x^4 - 11x^3 - 2x^2$.

Шаг 3: Раскроем вторую часть выражения $x(5x+3)$.

$x(5x+3) = 5x^2 + 3x$.

Шаг 4: Подставим все в исходное уравнение и упростим.

$(6x^4 - 11x^3 - 2x^2) + (5x^2 + 3x) = 1$

$6x^4 - 11x^3 - 2x^2 + 5x^2 + 3x - 1 = 0$

$6x^4 - 11x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 0$

Шаг 5: Найдем корни полученного уравнения четвертой степени. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена ($-1$), а $q$ — делитель старшего коэффициента (6). Возможные корни: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}$.

Проверим некоторые из них подстановкой в уравнение:

• При $x=1$: $6(1)^4 - 11(1)^3 + 3(1)^2 + 3(1) - 1 = 6 - 11 + 3 + 3 - 1 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.
• При $x=\frac{1}{3}$: $6(\frac{1}{3})^4 - 11(\frac{1}{3})^3 + 3(\frac{1}{3})^2 + 3(\frac{1}{3}) - 1 = 6(\frac{1}{81}) - 11(\frac{1}{27}) + 3(\frac{1}{9}) + 1 - 1 = \frac{6}{81} - \frac{33}{81} + \frac{27}{81} = \frac{0}{81} = 0$. Значит, $x=\frac{1}{3}$ является корнем.
• При $x=-\frac{1}{2}$: $6(-\frac{1}{2})^4 - 11(-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2 + 3(-\frac{1}{2}) - 1 = 6(\frac{1}{16}) - 11(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) - \frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{8} + \frac{11}{8} + \frac{6}{8} - \frac{12}{8} - \frac{8}{8} = \frac{3+11+6-12-8}{8} = 0$. Значит, $x=-\frac{1}{2}$ является корнем.

Мы нашли три различных корня: $1$, $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{2}$. Так как исходное уравнение является уравнением четвертой степени, оно имеет не более четырех корней. Дальнейший анализ (деление многочлена на $(x-1)(x-1/3)(x+1/2)$) показывает, что корень $x=1$ имеет кратность 2, а других корней нет.

Ответ: $x \in \{-\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; 1\}$.

2) $x^2(3x+1) - (x^2+1)^2 = 3$

Раскроем скобки и упростим уравнение.

Шаг 1: Раскроем первое слагаемое.

$x^2(3x+1) = 3x^3 + x^2$.

Шаг 2: Раскроем второе слагаемое, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$(x^2+1)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$.

Шаг 3: Подставим полученные выражения в исходное уравнение.

$(3x^3 + x^2) - (x^4 + 2x^2 + 1) = 3$

$3x^3 + x^2 - x^4 - 2x^2 - 1 = 3$

Шаг 4: Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные.

$-x^4 + 3x^3 + (x^2 - 2x^2) - 1 - 3 = 0$

$-x^4 + 3x^3 - x^2 - 4 = 0$

Умножим все уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным.

$x^4 - 3x^3 + x^2 + 4 = 0$

Шаг 5: Найдем корни полученного уравнения. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена 4. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Пусть $P(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + 4$.

• При $x=1$: $P(1) = 1 - 3 + 1 + 4 = 3 \neq 0$.
• При $x=-1$: $P(-1) = 1 - 3(-1) + 1 + 4 = 1 + 3 + 1 + 4 = 9 \neq 0$.
• При $x=2$: $P(2) = 2^4 - 3(2^3) + 2^2 + 4 = 16 - 3(8) + 4 + 4 = 16 - 24 + 8 = 0$. Значит, $x=2$ является корнем.

Шаг 6: Разделим многочлен $x^4 - 3x^3 + x^2 + 4$ на $(x-2)$, чтобы найти остальные корни.

$(x^4 - 3x^3 + x^2 + 4) : (x-2) = x^3 - x^2 - x - 2$.

Теперь решаем кубическое уравнение $x^3 - x^2 - x - 2 = 0$. Проверим снова корень $x=2$.

$2^3 - 2^2 - 2 - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0$. Значит, $x=2$ — корень кратности как минимум 2.

Снова разделим, теперь уже кубический многочлен на $(x-2)$.

$(x^3 - x^2 - x - 2) : (x-2) = x^2 + x + 1$.

Осталось решить квадратное уравнение $x^2 + x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением исходного уравнения является $x=2$.

Ответ: $x=2$.

321. Числа 3 и -4 являются корнями уравнения $x^3 + x^2 + ax + b = 0$. Найти $a$, $b$ и третий корень этого уравнения.

Пусть дано кубическое уравнение $x^3 + x^2 + ax + b = 0$. По условию, $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$ являются корнями этого уравнения. Обозначим третий корень через $x_3$.

Для нахождения неизвестных параметров и третьего корня воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения. Для общего приведенного кубического уравнения вида $x^3 + Px^2 + Qx + R = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -P$
• Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = Q$
• Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -R$

В нашем уравнении $x^3 + 1 \cdot x^2 + a \cdot x + b = 0$ коэффициенты при степенях $x$ равны $P=1$, $Q=a$ и $R=b$.

Нахождение третьего корня

Применим первое соотношение Виета для суммы корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -P$ Подставим известные значения корней $x_1=3$, $x_2=-4$ и коэффициент $P=1$: $3 + (-4) + x_3 = -1$ $-1 + x_3 = -1$ $x_3 = -1 + 1 = 0$ Следовательно, третий корень уравнения равен 0.

Нахождение коэффициентов $a$ и $b$

Теперь, зная все три корня ($x_1=3$, $x_2=-4$, $x_3=0$), мы можем найти коэффициенты $a$ и $b$ с помощью двух других соотношений Виета.

Для коэффициента $a$ (который соответствует $Q$) используем формулу для суммы попарных произведений корней: $a = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$ $a = (3)(-4) + (3)(0) + (-4)(0)$ $a = -12 + 0 + 0$ $a = -12$

Для коэффициента $b$ (который соответствует $R$) используем формулу для произведения корней: $-b = x_1x_2x_3$ $-b = (3)(-4)(0)$ $-b = 0$ $b = 0$

Для проверки подставим найденные коэффициенты в исходное уравнение: $x^3 + x^2 - 12x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 + x - 12) = 0$. Корни этого уравнения: $x=0$ и корни квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2+x-12$ это $x=3$ и $x=-4$. Таким образом, все три корня уравнения ($0, 3, -4$) и коэффициенты ($a=-12, b=0$) найдены верно.

Ответ: $a = -12$, $b = 0$, третий корень равен $0$.

322. Доказать теорему Виета для кубического уравнения: «Если $x_1, x_2, x_3$ — корни уравнения $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$, то $x_1 + x_2 + x_3 = -a$, $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = b$, $x_1x_2x_3 = -c$».

Пусть дано кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$. Согласно условию, $x_1, x_2, x_3$ являются корнями этого уравнения. По следствию из основной теоремы алгебры, если $x_k$ является корнем многочлена $P(x)$, то многочлен $P(x)$ можно представить в виде произведения линейных множителей, соответствующих его корням. Поскольку кубический многочлен имеет три корня (в общем случае, комплексных и с учетом кратности), мы можем записать следующее тождество, верное для любого значения $x$: $x^3 + ax^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$.

Теперь раскроем скобки в правой части этого тождества. Для этого сначала перемножим два последних множителя, а затем умножим результат на первый множитель: $(x - x_1) \cdot ((x - x_2)(x - x_3)) = (x - x_1)(x^2 - x_2x - x_3x + x_2x_3)$ $= (x - x_1)(x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3)$ $= x(x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3) - x_1(x^2 - (x_2 + x_3)x + x_2x_3)$ $= x^3 - (x_2 + x_3)x^2 + x_2x_3x - x_1x^2 + x_1(x_2 + x_3)x - x_1x_2x_3$. Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $x$: $= x^3 - x_1x^2 - x_2x^2 - x_3x^2 + x_1x_2x + x_1x_3x + x_2x_3x - x_1x_2x_3$ $= x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3$.

Таким образом, мы получили тождество, связывающее два представления одного и того же многочлена: $x^3 + ax^2 + bx + c \equiv x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3$. Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$. Приравняем соответствующие коэффициенты:

• Коэффициенты при $x^2$: $a = -(x_1 + x_2 + x_3)$, откуда следует, что $x_1 + x_2 + x_3 = -a$.
• Коэффициенты при $x$: $b = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$.
• Свободные члены (коэффициенты при $x^0$): $c = -x_1x_2x_3$, откуда следует, что $x_1x_2x_3 = -c$.

Все три формулы, составляющие теорему Виета для кубического уравнения, доказаны.

Ответ: Утверждение доказано. Для кубического уравнения $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$ справедливы следующие соотношения (формулы Виета): $x_1 + x_2 + x_3 = -a$, $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = b$ и $x_1x_2x_3 = -c$.

323. Найти действительные корни уравнения:

1) $2x^5 - x^4 + 2x - 1 = 0$;

2) $4x^5 - x^3 - 4x^2 + 1 = 0$;

3) $6x^6 - x^5 - x^4 + 6x^2 - x - 1 = 0$;

4) $4x^6 + 4x^5 - x^4 - 5x^3 - 4x^2 + x + 1 = 0$.

1) $2x^5 - x^4 + 2x - 1 = 0$

Сгруппируем члены уравнения для разложения на множители:

$(2x^5 - x^4) + (2x - 1) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(2x - 1) + 1(2x - 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(2x - 1)$ за скобки:

$(x^4 + 1)(2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.

б) $x^4 + 1 = 0 \implies x^4 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как любое действительное число, возведенное в четвертую степень, является неотрицательным ($x^4 \ge 0$).

Таким образом, единственным действительным корнем уравнения является $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

2) $4x^5 - x^3 - 4x^2 + 1 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(4x^5 - 4x^2) - (x^3 - 1) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$4x^2(x^3 - 1) - 1(x^3 - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^3 - 1)$ за скобки:

$(4x^2 - 1)(x^3 - 1) = 0$

Разложим каждый множитель на более простые, используя формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)$

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Уравнение принимает вид:

$(2x - 1)(2x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

а) $2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$.

б) $2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$.

в) $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

г) $x^2 + x + 1 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, действительными корнями являются $1$, $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{1}{2}$, $x_3 = -\frac{1}{2}$.

3) $6x^6 - x^5 - x^4 + 6x^2 - x - 1 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(6x^6 - x^5 - x^4) + (6x^2 - x - 1) = 0$

Вынесем $x^4$ из первой группы:

$x^4(6x^2 - x - 1) + 1(6x^2 - x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(6x^2 - x - 1)$:

$(x^4 + 1)(6x^2 - x - 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

а) $x^4 + 1 = 0 \implies x^4 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$.

б) $6x^2 - x - 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$D = (-1)^2 - 4(6)(-1) = 1 + 24 = 25$

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 \pm 5}{12}$

$x_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Таким образом, действительными корнями являются $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{3}$.

4) $4x^6 + 4x^5 - x^4 - 5x^3 - 4x^2 + x + 1 = 0$

Попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ – делитель свободного члена (1), а $q$ – делитель старшего коэффициента (4). Возможные корни: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$.

Подстановкой убеждаемся, что корнями являются $x=1$, $x=-1$, $x=\frac{1}{2}$ и $x=-\frac{1}{2}$.
Это означает, что многочлен делится на произведение множителей $(x-1)(x+1)(2x-1)(2x+1) = (x^2-1)(4x^2-1) = 4x^4 - 5x^2 + 1$.

Разделим исходный многочлен $4x^6 + 4x^5 - x^4 - 5x^3 - 4x^2 + x + 1$ на многочлен $4x^4 - 5x^2 + 1$. В результате деления (например, столбиком) получаем частное $x^2 + x + 1$. Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$(4x^4 - 5x^2 + 1)(x^2 + x + 1) = 0$

Рассмотрим каждый множитель:

а) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$. Корни этого уравнения мы уже нашли: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = \frac{1}{2}$, $x_4 = -\frac{1}{2}$.

б) $x^2 + x + 1 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Следовательно, действительными корнями исходного уравнения являются найденные четыре значения.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = \frac{1}{2}$, $x_4 = -\frac{1}{2}$.

324. Выяснить, является ли число $a$ корнем многочлена $P(x)$, и найти другие целые его корни, если они имеются:

1) $P(x)=x^4-2x^3-13x^2+14x+24, a=-1;$

2) $P(x)=6x^4+5x^3-14x^2+x+2, a=1.$

1) $P(x) = x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24, a = -1$

Сначала проверим, является ли число $a = -1$ корнем многочлена $P(x)$. Для этого подставим $x = -1$ в выражение для $P(x)$:
$P(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - 13(-1)^2 + 14(-1) + 24 = 1 - 2(-1) - 13(1) - 14 + 24 = 1 + 2 - 13 - 14 + 24 = 0$.
Так как $P(-1) = 0$, то число $a = -1$ является корнем многочлена $P(x)$.

Теперь найдем другие целые корни. Поскольку $x = -1$ является корнем, многочлен $P(x)$ делится на $(x - (-1)) = (x + 1)$ без остатка. Воспользуемся схемой Горнера для деления многочлена $P(x)$ на $(x+1)$:

В результате деления получили многочлен $Q(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24$. Теперь нам нужно найти целые корни этого многочлена. Согласно теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена. В нашем случае, делителями числа 24 являются: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm8, \pm12, \pm24$.
Проверим некоторые из них, подставляя в $Q(x)$:
$Q(2) = 2^3 - 3(2^2) - 10(2) + 24 = 8 - 12 - 20 + 24 = 0$.
Значит, $x = 2$ является корнем. Снова разделим многочлен, теперь $Q(x)$ на $(x-2)$:

Получили квадратный трехчлен $x^2 - x - 12$. Найдем его корни, решив уравнение:
$x^2 - x - 12 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.
Оба корня являются целыми числами.
Таким образом, все целые корни многочлена $P(x)$ это -1, 2, -3, 4. Другие целые корни, помимо $a=-1$, это 2, -3 и 4.
Ответ: Да, $a=-1$ является корнем. Другие целые корни: -3, 2, 4.

2) $P(x) = 6x^4 + 5x^3 - 14x^2 + x + 2, a = 1$

Проверим, является ли число $a = 1$ корнем многочлена $P(x)$. Подставим $x = 1$ в выражение для $P(x)$:
$P(1) = 6(1)^4 + 5(1)^3 - 14(1)^2 + 1 + 2 = 6 + 5 - 14 + 1 + 2 = 0$.
Так как $P(1) = 0$, то число $a = 1$ является корнем многочлена $P(x)$.

Найдем другие целые корни. Разделим многочлен $P(x)$ на $(x - 1)$ с помощью схемы Горнера:

В результате деления получили многочлен $Q(x) = 6x^3 + 11x^2 - 3x - 2$. Целые корни этого многочлена (если они существуют) должны быть делителями свободного члена -2. Делители числа -2: $\pm1, \pm2$.
Проверим их:
$Q(1) = 6(1)^3 + 11(1)^2 - 3(1) - 2 = 6 + 11 - 3 - 2 = 12 \ne 0$.
$Q(-1) = 6(-1)^3 + 11(-1)^2 - 3(-1) - 2 = -6 + 11 + 3 - 2 = 6 \ne 0$.
$Q(2) = 6(2)^3 + 11(2)^2 - 3(2) - 2 = 48 + 44 - 6 - 2 = 84 \ne 0$.
$Q(-2) = 6(-2)^3 + 11(-2)^2 - 3(-2) - 2 = 6(-8) + 11(4) + 6 - 2 = -48 + 44 + 6 - 2 = 0$.
Значит, $x = -2$ является корнем. Снова разделим многочлен, теперь $Q(x)$ на $(x - (-2)) = (x+2)$:

Получили квадратный трехчлен $6x^2 - x - 1$. Найдем его корни, решив уравнение:
$6x^2 - x - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 \pm 5}{12}$.
$x_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
Эти корни не являются целыми числами.
Следовательно, единственный другой целый корень многочлена $P(x)$ - это $x=-2$.
Ответ: Да, $a=1$ является корнем. Другой целый корень: -2.