Страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

308. Выяснить, делится ли многочлен $P(x)$ на $x - a$, если:

1) $P(x) = 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 - 5, a = -3;$

2) $P(x) = 7x^{16} + 4x^{13} - 3x^{10}, a = -1.$

Для решения этой задачи используется следствие из теоремы Безу: многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка тогда и только тогда, когда число $a$ является корнем многочлена, то есть $P(a) = 0$.

1) Дан многочлен $P(x) = 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 - 5$ и $a = -3$.
Чтобы выяснить, делится ли $P(x)$ на $(x - (-3))$, то есть на $(x + 3)$, нужно вычислить значение многочлена в точке $x = -3$:
$P(-3) = 2 \cdot (-3)^4 + 3 \cdot (-3)^3 - 2 \cdot (-3)^2 - 5$
$P(-3) = 2 \cdot 81 + 3 \cdot (-27) - 2 \cdot 9 - 5$
$P(-3) = 162 - 81 - 18 - 5$
$P(-3) = 81 - 18 - 5 = 63 - 5 = 58$
Поскольку $P(-3) = 58 \neq 0$, многочлен $P(x)$ не делится на $(x+3)$ без остатка.
Ответ: не делится.

2) Дан многочлен $P(x) = 7x^{16} + 4x^{13} - 3x^{10}$ и $a = -1$.
Чтобы выяснить, делится ли $P(x)$ на $(x - (-1))$, то есть на $(x + 1)$, нужно вычислить значение многочлена в точке $x = -1$:
$P(-1) = 7 \cdot (-1)^{16} + 4 \cdot (-1)^{13} - 3 \cdot (-1)^{10}$
Так как $(-1)$ в четной степени равно $1$, а в нечетной степени равно $-1$:
$(-1)^{16} = 1$
$(-1)^{13} = -1$
$(-1)^{10} = 1$
Подставляем эти значения:
$P(-1) = 7 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 = 7 - 4 - 3$
$P(-1) = 3 - 3 = 0$
Поскольку $P(-1) = 0$, многочлен $P(x)$ делится на $(x+1)$ без остатка.
Ответ: делится.

309. Разложить многочлен $P(x)$ на множители, если $a$ — корень этого многочлена:

1) $P(x) = x^3 + 5x^2 + 11x + 7$, $a = -1$;

2) $P(x) = 3x^3 + 10x^2 + 4x + 3$, $a = -3$;

3) $P(x) = x^3 + 4x^2 - 7x - 10$, $a = -5$;

4) $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 10$, $a = 2$.

1)

Дан многочлен $P(x) = x^3 + 5x^2 + 11x + 7$ и его корень $a = -1$.

Согласно теореме Безу, если $a$ является корнем многочлена $P(x)$, то многочлен $P(x)$ делится нацело на двучлен $(x - a)$. В нашем случае, $P(x)$ делится на $(x - (-1))$, то есть на $(x + 1)$.

Выполним деление многочлена $P(x)$ на $(x + 1)$ столбиком или используя схему Горнера. Коэффициенты многочлена: 1, 5, 11, 7. Корень: -1.

 | 1 5 11 7-1 | | -1 -4 -7 ----------------- 1 4 7 0

В результате деления получаем многочлен $x^2 + 4x + 7$ и остаток 0. Таким образом, мы можем представить $P(x)$ в виде произведения:

$P(x) = (x + 1)(x^2 + 4x + 7)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 7$. Для этого найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 7$ не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители в поле действительных чисел.

Следовательно, итоговое разложение многочлена на множители:

Ответ: $P(x) = (x + 1)(x^2 + 4x + 7)$

2)

Дан многочлен $P(x) = 3x^3 + 10x^2 + 4x + 3$ и его корень $a = -3$.

Так как $a = -3$ является корнем, то $P(x)$ делится нацело на $(x - (-3))$, то есть на $(x + 3)$.

Выполним деление $P(x)$ на $(x + 3)$ по схеме Горнера. Коэффициенты многочлена: 3, 10, 4, 3. Корень: -3.

 | 3 10 4 3-3 | | -9 -3 -3 ----------------- 3 1 1 0

В результате деления получаем многочлен $3x^2 + x + 1$ и остаток 0. Таким образом:

$P(x) = (x + 3)(3x^2 + x + 1)$

Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $3x^2 + x + 1$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11$

Так как $D < 0$, этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители.

Ответ: $P(x) = (x + 3)(3x^2 + x + 1)$

3)

Дан многочлен $P(x) = x^3 + 4x^2 - 7x - 10$ и его корень $a = -5$.

Следовательно, многочлен $P(x)$ делится нацело на $(x - (-5))$, то есть на $(x + 5)$.

Разделим $P(x)$ на $(x + 5)$ по схеме Горнера. Коэффициенты: 1, 4, -7, -10. Корень: -5.

 | 1 4 -7 -10-5 | | -5 5 10 ------------------- 1 -1 -2 0

В результате деления получаем многочлен $x^2 - x - 2$. Таким образом:

$P(x) = (x + 5)(x^2 - x - 2)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - x - 2$. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x - (-1)) = (x - 2)(x + 1)$.

Итоговое разложение многочлена:

Ответ: $P(x) = (x + 5)(x + 1)(x - 2)$

4)

Дан многочлен $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 10$ и его корень $a = 2$.

Так как $a = 2$ является корнем, $P(x)$ делится на $(x - 2)$. В данном случае можно разложить многочлен на множители методом группировки:

$P(x) = (x^3 - 2x^2) + (-5x + 10)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$P(x) = x^2(x - 2) - 5(x - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$:

$P(x) = (x - 2)(x^2 - 5)$

Множитель $(x^2 - 5)$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 5 = x^2 - (\sqrt{5})^2 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$

Итоговое разложение многочлена:

Ответ: $P(x) = (x - 2)(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$

310. Решить уравнение, если известен один его корень:

1) $x^3 + 3x^2 - 25x - 75 = 0, x_1 = -3;$

2) $2x^3 + x^2 - 4x - 2 = 0, x_1 = -\frac{1}{2}.$

1) $x^3 + 3x^2 - 25x - 75 = 0$, $x_1 = -3$

Поскольку $x_1 = -3$ является корнем уравнения, то многочлен в левой части уравнения делится на $(x - (-3))$, то есть на $(x+3)$, без остатка. Это позволяет нам разложить многочлен на множители, чтобы найти остальные корни. В данном случае удобно применить метод группировки слагаемых.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(x^3 + 3x^2) - (25x + 75) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^2(x+3) - 25(x+3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:

$(x+3)(x^2 - 25) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

$x+3 = 0$ или $x^2 - 25 = 0$.

Решая первое уравнение, получаем $x_1 = -3$, что является известным корнем.

Решая второе уравнение, получаем $x^2 = 25$, откуда $x = \pm\sqrt{25}$. Следовательно, $x_2 = 5$ и $x_3 = -5$.

Таким образом, все корни исходного уравнения: $-5, -3, 5$.

Ответ: $-5, -3, 5$.

2) $2x^3 + x^2 - 4x - 2 = 0$, $x_1 = -1/2$

Так как $x_1 = -1/2$ является корнем, то многочлен $2x^3 + x^2 - 4x - 2$ делится на $(x - (-1/2))$, или, что то же самое, на $(2x+1)$ без остатка. Для нахождения остальных корней разложим многочлен на множители методом группировки.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(2x^3 + x^2) - (4x + 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^2(2x+1) - 2(2x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x+1)$ за скобки:

$(2x+1)(x^2 - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

$2x+1 = 0$ или $x^2 - 2 = 0$.

Из первого уравнения $2x = -1$ находим корень $x_1 = -1/2$, который был дан в условии.

Из второго уравнения $x^2 = 2$ находим остальные корни: $x = \pm\sqrt{2}$. Следовательно, $x_2 = \sqrt{2}$ и $x_3 = -\sqrt{2}$.

Таким образом, все корни исходного уравнения: $-\sqrt{2}, -1/2, \sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}, -1/2, \sqrt{2}$.

311. Остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x+4$ равен 5, а остаток от деления его на $x-5$ равен 14. Найти остаток от деления $P(x)$ на $(x+4)(x-5)$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Безу (следствием из теоремы о делении многочленов с остатком). Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен значению этого многочлена в точке $x=a$, то есть $P(a)$.

Из условия задачи мы имеем два факта:

1. Остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x+4$ равен 5. Двучлен $x+4$ можно представить в виде $x-(-4)$. Согласно теореме Безу, это означает, что $P(-4) = 5$.
2. Остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x-5$ равен 14. Согласно теореме Безу, это означает, что $P(5) = 14$.

Нам нужно найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на произведение $(x+4)(x-5)$. Делитель $(x+4)(x-5) = x^2 - x - 20$ является многочленом второй степени. При делении многочлена на многочлен второй степени остаток будет многочленом степени не выше первой, то есть его можно представить в виде $R(x) = ax+b$, где $a$ и $b$ – некоторые коэффициенты, которые нам нужно найти.

Общее уравнение деления с остатком можно записать так: $P(x) = Q(x) \cdot (x+4)(x-5) + R(x)$ где $Q(x)$ – это частное (некоторый многочлен), а $R(x) = ax+b$ – искомый остаток. Подставим вид остатка в уравнение: $P(x) = Q(x) \cdot (x+4)(x-5) + ax+b$

Теперь воспользуемся известными нам значениями $P(-4)$ и $P(5)$, подставив их в это уравнение:

1. Подставим $x = -4$:
$P(-4) = Q(-4) \cdot (-4+4)(-4-5) + a(-4)+b$
$P(-4) = Q(-4) \cdot (0) \cdot (-9) - 4a + b$
$P(-4) = -4a + b$
Так как мы знаем, что $P(-4) = 5$, получаем первое уравнение:
$-4a + b = 5$

2. Подставим $x = 5$:
$P(5) = Q(5) \cdot (5+4)(5-5) + a(5)+b$
$P(5) = Q(5) \cdot (9) \cdot (0) + 5a + b$
$P(5) = 5a + b$
Так как мы знаем, что $P(5) = 14$, получаем второе уравнение:
$5a + b = 14$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$: $$ \begin{cases} -4a + b = 5 \\ 5a + b = 14 \end{cases} $$ Для её решения вычтем первое уравнение из второго: $(5a + b) - (-4a + b) = 14 - 5$
$5a + b + 4a - b = 9$
$9a = 9$
$a = 1$

Подставим найденное значение $a=1$ в любое из уравнений, например, во второе: $5(1) + b = 14$
$5 + b = 14$
$b = 14 - 5$
$b = 9$

Таким образом, мы нашли коэффициенты остатка: $a=1$ и $b=9$. Искомый остаток $R(x) = ax+b$ равен $1 \cdot x + 9 = x+9$.

Ответ: $x+9$