Страница 108 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

300. Выяснить, является ли число $a$ корнем многочлена $P(x)$, если:

1) $P(x) = 2x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 9, a = -3;$

2) $P(x) = 2x^5 - 3x^4 + 3x^3 - x^2 - 4x + 2, a = \frac{1}{2}$.

Для того чтобы определить, является ли число $a$ корнем многочлена $P(x)$, необходимо подставить значение $a$ в многочлен вместо $x$. Если в результате вычислений значение многочлена окажется равным нулю, то есть $P(a) = 0$, то число $a$ является его корнем.

1) Для многочлена $P(x) = 2x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 9$ и числа $a = -3$ проверим, выполняется ли равенство $P(-3) = 0$.

Подставим $x = -3$ в многочлен:
$P(-3) = 2(-3)^4 + 5(-3)^3 - 2(-3)^2 - 9$

Вычислим значение выражения:
$P(-3) = 2 \cdot 81 + 5 \cdot (-27) - 2 \cdot 9 - 9 = 162 - 135 - 18 - 9 = 162 - (135 + 18 + 9) = 162 - 162 = 0$.

Так как $P(-3) = 0$, число $a = -3$ является корнем многочлена $P(x)$.

Ответ: да, является.

2) Для многочлена $P(x) = 2x^5 - 3x^4 + 3x^3 - x^2 - 4x + 2$ и числа $a = \frac{1}{2}$ проверим, выполняется ли равенство $P(\frac{1}{2}) = 0$.

Подставим $x = \frac{1}{2}$ в многочлен:
$P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^5 - 3(\frac{1}{2})^4 + 3(\frac{1}{2})^3 - (\frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{2}) + 2$

Вычислим значение выражения:
$P(\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{32} - 3 \cdot \frac{1}{16} + 3 \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 2 + 2$
$P(\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{16} + \frac{3}{8} - \frac{1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 16 и выполним вычисления:
$P(\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{16} + \frac{6}{16} - \frac{4}{16} = \frac{1 - 3 + 6 - 4}{16} = \frac{0}{16} = 0$.

Так как $P(\frac{1}{2}) = 0$, число $a = \frac{1}{2}$ является корнем многочлена $P(x)$.

Ответ: да, является.

301. Найти остаток $R$ от деления многочлена $P(x)$ на $x - a$, если:

1) $P(x) = x^5 + 3x^4 - 8$, $a = -2$;

2) $P(x) = 4x^{11} - x^{39} - 5$, $a = 1$.

Для решения этой задачи используется теорема Безу, которая утверждает, что остаток $R$ от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-a$ равен значению этого многочлена в точке $a$. Таким образом, $R = P(a)$.

1)

Дан многочлен $P(x) = x^5 + 3x^4 - 8$ и значение $a = -2$. Необходимо найти остаток от деления $P(x)$ на $x - a = x - (-2) = x + 2$.

Согласно теореме Безу, искомый остаток $R$ равен значению многочлена $P(x)$ при $x = a = -2$.

Подставим значение $x = -2$ в многочлен:

$R = P(-2) = (-2)^5 + 3(-2)^4 - 8$

Выполним вычисления:

$R = -32 + 3 \cdot 16 - 8$

$R = -32 + 48 - 8$

$R = 16 - 8 = 8$

Ответ: $8$

2)

Дан многочлен $P(x) = 4x^{11} - x^{39} - 5$ и значение $a = 1$. Необходимо найти остаток от деления $P(x)$ на $x - a = x - 1$.

Согласно теореме Безу, искомый остаток $R$ равен значению многочлена $P(x)$ при $x = a = 1$.

Подставим значение $x = 1$ в многочлен:

$R = P(1) = 4(1)^{11} - (1)^{39} - 5$

Выполним вычисления, учитывая, что $1$ в любой степени равен $1$:

$R = 4 \cdot 1 - 1 - 5$

$R = 4 - 1 - 5$

$R = 3 - 5 = -2$

Ответ: $-2$

302. Найти остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $Q(x) = ax + b$, не выполняя деления:

1) $P(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 7$, $Q(x) = 2x + 1$;

2) $P(x) = x^5 - x^3 + 2x + 1$, $Q(x) = 3x + 6$.

Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $Q(x) = ax + b$ используется теорема Безу (следствие из теоремы о делении многочленов). Согласно этой теореме, остаток $R$ от деления многочлена $P(x)$ на линейный двучлен $ax+b$ равен значению многочлена $P(x)$ в точке $x_0$, которая является корнем двучлена $Q(x)$.

Сначала находим корень $x_0$ двучлена $Q(x)$, решив уравнение $Q(x) = 0$: $ax + b = 0 \implies x_0 = -\frac{b}{a}$.

Затем вычисляем остаток $R$, подставив найденный корень в многочлен $P(x)$: $R = P(x_0) = P(-\frac{b}{a})$.

1) Даны многочлены $P(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 7$ и $Q(x) = 2x + 1$.

Найдем корень двучлена $Q(x)$: $2x + 1 = 0$ $2x = -1$ $x = -\frac{1}{2}$

Теперь, чтобы найти остаток, вычислим значение многочлена $P(x)$ при $x = -\frac{1}{2}$: $R = P(-\frac{1}{2}) = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{1}{2}\right) + 7$ $R = -\frac{1}{8} - 3\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{5}{2} + 7$ $R = -\frac{1}{8} - \frac{3}{4} - \frac{5}{2} + 7$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 8: $R = -\frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{7 \cdot 8}{1 \cdot 8}$ $R = -\frac{1}{8} - \frac{6}{8} - \frac{20}{8} + \frac{56}{8}$ $R = \frac{-1 - 6 - 20 + 56}{8}$ $R = \frac{29}{8}$

Ответ: $29/8$

2) Даны многочлены $P(x) = x^5 - x^3 + 2x + 1$ и $Q(x) = 3x + 6$.

Найдем корень двучлена $Q(x)$: $3x + 6 = 0$ $3x = -6$ $x = \frac{-6}{3} = -2$

Теперь, чтобы найти остаток, вычислим значение многочлена $P(x)$ при $x = -2$: $R = P(-2) = (-2)^5 - (-2)^3 + 2(-2) + 1$ $R = -32 - (-8) - 4 + 1$ $R = -32 + 8 - 4 + 1$ $R = -24 - 4 + 1$ $R = -28 + 1$ $R = -27$

Ответ: $-27$

303. Найти корни многочлена третьей степени:

1) $4x^3 - x$;

2) $x^3 - x^2 - 16x + 16$;

3) $x^3 + 2x^2 - x - 2$;

4) $2x^3 - x^2 - 50x + 25$.

1) $4x^3 - x$

Чтобы найти корни многочлена, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное уравнение:

$4x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1. $x = 0$ (это первый корень).

2. $4x^2 - 1 = 0$.

Решим второе уравнение. Его можно представить как разность квадратов $(2x)^2 - 1^2 = 0$.

$(2x - 1)(2x + 1) = 0$

Это уравнение также распадается на два:

$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 1/2$

$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -1/2$

Таким образом, многочлен имеет три корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1/2$, $x_3 = -1/2$.

2) $x^3 - x^2 - 16x + 16$

Приравняем многочлен к нулю:

$x^3 - x^2 - 16x + 16 = 0$

Для решения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - x^2) + (-16x + 16) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 1) - 16(x - 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^2 - 16) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

2. $x^2 - 16 = 0$.

Решим второе уравнение, которое является разностью квадратов:

$x^2 - 4^2 = 0$

$(x - 4)(x + 4) = 0$

Отсюда находим еще два корня:

$x - 4 = 0 \implies x = 4$

$x + 4 = 0 \implies x = -4$

Таким образом, найдены все три корня многочлена.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$, $x_3 = -4$.

3) $x^3 + 2x^2 - x - 2$

Приравняем многочлен к нулю:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$

Используем метод группировки:

$(x^3 + 2x^2) + (-x - 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) - 1(x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

2. $x^2 - 1 = 0$.

Второе уравнение — это разность квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда находим оставшиеся корни:

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Таким образом, найдены все три корня.

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

4) $2x^3 - x^2 - 50x + 25$

Приравняем многочлен к нулю:

$2x^3 - x^2 - 50x + 25 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2x^3 - x^2) + (-50x + 25) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(2x - 1) - 25(2x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x - 1)$ за скобки:

$(2x - 1)(x^2 - 25) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 1/2$.

2. $x^2 - 25 = 0$.

Второе уравнение — это разность квадратов:

$x^2 - 5^2 = 0$

$(x - 5)(x + 5) = 0$

Отсюда получаем еще два корня:

$x - 5 = 0 \implies x = 5$

$x + 5 = 0 \implies x = -5$

Таким образом, найдены все три корня.

Ответ: $x_1 = 1/2$, $x_2 = 5$, $x_3 = -5$.

304. Найти такое число $c$, чтобы многочлен $P(x) = x^5 - x^4 + cx^3$ делился на двучлен:

1) $x + 4$;

2) $x - 5$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка тогда и только тогда, когда $P(a) = 0$.

Дан многочлен $P(x) = x^5 - x^4 + cx^3$.

1) x + 4;

Чтобы многочлен $P(x)$ делился на двучлен $x + 4$, необходимо, чтобы значение многочлена в точке $x = -4$ было равно нулю. То есть, $P(-4) = 0$.

Подставим $x = -4$ в выражение для $P(x)$:

$P(-4) = (-4)^5 - (-4)^4 + c \cdot (-4)^3 = 0$

Вычислим степени числа -4:

$(-4)^3 = -64$

$(-4)^4 = 256$

$(-4)^5 = -1024$

Подставим эти значения в уравнение:

$-1024 - 256 + c \cdot (-64) = 0$

$-1280 - 64c = 0$

Перенесем слагаемое с $c$ в правую часть:

$64c = -1280$

Найдем $c$:

$c = \frac{-1280}{64} = -20$

Ответ: $c = -20$.

2) x - 5.

Чтобы многочлен $P(x)$ делился на двучлен $x - 5$, необходимо, чтобы значение многочлена в точке $x = 5$ было равно нулю. То есть, $P(5) = 0$.

Подставим $x = 5$ в выражение для $P(x)$:

$P(5) = 5^5 - 5^4 + c \cdot 5^3 = 0$

Вычислим степени числа 5:

$5^3 = 125$

$5^4 = 625$

$5^5 = 3125$

Подставим эти значения в уравнение:

$3125 - 625 + c \cdot 125 = 0$

$2500 + 125c = 0$

Перенесем 2500 в правую часть:

$125c = -2500$

Найдем $c$:

$c = \frac{-2500}{125} = -20$

Ответ: $c = -20$.

305. Найти все корни многочлена $ax^3 + x^2 - 8x - 12$, если один из них равен 3.

1. Нахождение коэффициента a

По условию, один из корней многочлена $ax^3 + x^2 - 8x - 12$ равен 3. Это означает, что если подставить $x=3$ в многочлен, то его значение будет равно нулю.

Подставим $x=3$:
$a \cdot (3)^3 + (3)^2 - 8 \cdot 3 - 12 = 0$

Выполним вычисления:
$a \cdot 27 + 9 - 24 - 12 = 0$
$27a - 27 = 0$

Решим полученное уравнение относительно $a$:
$27a = 27$
$a = 1$

Таким образом, исходный многочлен имеет вид: $x^3 + x^2 - 8x - 12$.

2. Нахождение остальных корней

Поскольку $x=3$ является корнем многочлена, то многочлен $x^3 + x^2 - 8x - 12$ делится на двучлен $(x - 3)$ без остатка. Мы можем выполнить деление многочленов столбиком или используя схему Горнера, чтобы найти частное.

Деление $x^3 + x^2 - 8x - 12$ на $(x - 3)$ дает в результате квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 4$.

Таким образом, мы можем разложить многочлен на множители:
$x^3 + x^2 - 8x - 12 = (x - 3)(x^2 + 4x + 4)$

Теперь найдем корни, приравняв второй множитель к нулю:
$x^2 + 4x + 4 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом:
$(x + 2)^2 = 0$

Отсюда следует, что:
$x + 2 = 0$
$x = -2$

Этот корень имеет кратность 2, то есть у нас есть два одинаковых корня: $x_2 = -2$ и $x_3 = -2$.

В итоге мы нашли все три корня многочлена: один корень $x_1 = 3$ (дан по условию) и два совпадающих корня $x_{2,3} = -2$.

Ответ: все корни многочлена: $3, -2, -2$.

306. Найти все корни многочлена $6x^3 + bx^2 - 5x - 2$, если одним из них является число $-\frac{1}{2}$.

Пусть $P(x) = 6x^3 + bx^2 - 5x - 2$.

Поскольку по условию задачи число $x_1 = -\frac{1}{2}$ является корнем многочлена, то при подстановке этого значения в многочлен результат должен быть равен нулю, то есть $P(-\frac{1}{2}) = 0$.

Подставим $x = -\frac{1}{2}$ в уравнение многочлена, чтобы найти неизвестный коэффициент $b$:
$6 \cdot (-\frac{1}{2})^3 + b \cdot (-\frac{1}{2})^2 - 5 \cdot (-\frac{1}{2}) - 2 = 0$
$6 \cdot (-\frac{1}{8}) + b \cdot (\frac{1}{4}) + \frac{5}{2} - 2 = 0$
$-\frac{6}{8} + \frac{b}{4} + \frac{5}{2} - 2 = 0$

Приведем все дроби к общему знаменателю 4:
$-\frac{3}{4} + \frac{b}{4} + \frac{10}{4} - \frac{8}{4} = 0$
$\frac{-3 + b + 10 - 8}{4} = 0$
$\frac{b - 1}{4} = 0$

Отсюда находим $b$:
$b - 1 = 0$
$b = 1$

Теперь, когда мы знаем значение коэффициента $b$, многочлен имеет вид:
$P(x) = 6x^3 + x^2 - 5x - 2$

Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $P(x)$ на двучлен $(x - x_1)$, то есть на $(x - (-\frac{1}{2}))$ или $(x + \frac{1}{2})$. Если многочлен делится на $(x + \frac{1}{2})$, то он делится и на $(2x + 1)$. Выполним деление многочлена $6x^3 + x^2 - 5x - 2$ на $(2x + 1)$. Это можно сделать, например, делением столбиком (уголком). В результате деления получаем:
$(6x^3 + x^2 - 5x - 2) \div (2x + 1) = 3x^2 - x - 2$

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде произведения:
$6x^3 + x^2 - 5x - 2 = (2x + 1)(3x^2 - x - 2)$

Оставшиеся два корня многочлена являются корнями квадратного уравнения $3x^2 - x - 2 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$

Вычисляем два оставшихся корня:
$x_2 = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$x_3 = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Мы нашли все три корня исходного многочлена: $-\frac{1}{2}$, $1$ и $-\frac{2}{3}$.

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{2}$, $x_2 = 1$, $x_3 = -\frac{2}{3}$.

307. При каких значениях $a$, $b$ и $c$ многочлен $P(x)=x^5+ax^3+bx^2+c$ делится на $x+2$, а при делении на $x^2-1$ даёт остаток $-3x+3$?

По условию, многочлен $P(x) = x^5 + ax^3 + bx^2 + c$ делится на $x+2$. Согласно теореме Безу (следствию из теоремы об остатке), если многочлен делится на двучлен $x-k$, то $P(k)=0$. В нашем случае $k = -2$, следовательно, $P(-2)=0$.

Подставим $x = -2$ в выражение для $P(x)$ и приравняем к нулю: $P(-2) = (-2)^5 + a(-2)^3 + b(-2)^2 + c = 0$
$-32 + a(-8) + b(4) + c = 0$
$-32 - 8a + 4b + c = 0$
$8a - 4b - c = -32$ (1)

Второе условие гласит, что при делении $P(x)$ на $x^2-1$ остаток равен $-3x+3$. Это можно записать в виде равенства:
$P(x) = (x^2-1) \cdot Q(x) + (-3x+3)$, где $Q(x)$ – это частное от деления.

Это равенство верно для любого значения $x$. Найдём корни многочлена $x^2-1$:
$x^2-1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.

Подставим эти значения в равенство $P(x) = (x^2-1) \cdot Q(x) -3x+3$.

Для $x=1$:
$P(1) = (1^2-1) \cdot Q(1) - 3(1) + 3 = 0 \cdot Q(1) - 3 + 3 = 0$.
С другой стороны, $P(1) = 1^5 + a \cdot 1^3 + b \cdot 1^2 + c$.
Приравнивая эти два выражения для $P(1)$, получаем второе уравнение:
$1 + a + b + c = 0$
$a + b + c = -1$ (2)

Для $x=-1$:
$P(-1) = ((-1)^2-1) \cdot Q(-1) - 3(-1) + 3 = (1-1) \cdot Q(-1) + 3 + 3 = 6$.
С другой стороны, $P(-1) = (-1)^5 + a \cdot (-1)^3 + b \cdot (-1)^2 + c$.
Приравнивая эти два выражения для $P(-1)$, получаем третье уравнение:
$-1 - a + b + c = 6$
$-a + b + c = 7$ (3)

Теперь у нас есть система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
$ \begin{cases} 8a - 4b - c = -32 & (1) \\ a + b + c = -1 & (2) \\ -a + b + c = 7 & (3) \end{cases} $

Решим эту систему. Сложим уравнения (2) и (3):
$(a+b+c) + (-a+b+c) = -1 + 7$
$2b + 2c = 6$
$b+c = 3$ (4)

Теперь вычтем уравнение (3) из уравнения (2):
$(a+b+c) - (-a+b+c) = -1 - 7$
$2a = -8$
$a = -4$

Подставим значение $a=-4$ в уравнение (1):
$8(-4) - 4b - c = -32$
$-32 - 4b - c = -32$
$-4b - c = 0 \implies c = -4b$

Наконец, подставим $c=-4b$ в уравнение (4):
$b + (-4b) = 3$
$-3b = 3$
$b = -1$

Зная $b$, находим $c$:
$c = -4b = -4(-1) = 4$.

Таким образом, мы определили все неизвестные коэффициенты.

Ответ: $a=-4, b=-1, c=4$.