Страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

298. Выполнить деление многочленов по схеме Горнера:

1) $ (6x^3 - 11x^2 - 1) : (x - 2) $

2) $ (2x^4 - x^3 - x^2 + 3x - 2) : (x + 2) $

3) $ (3x^5 + 3x^4 + x^3 - x - 2) : (x + 1) $

4) $ (3x^3 + 4x^2) : (3x + 2) $

1) $(6x^3 - 11x^2 - 1) : (x - 2)$

Для деления многочлена $P(x) = 6x^3 - 11x^2 - 1$ на двучлен $(x - c)$ по схеме Горнера, мы используем значение $c=2$. Коэффициенты многочлена $P(x)$, включая член с нулевым коэффициентом при $x$, равны $6, -11, 0, -1$.

Составим таблицу:

Первая строка таблицы содержит коэффициенты исходного многочлена. Число слева (2) — это корень делителя. Первый коэффициент (6) сносится без изменений. Каждый следующий коэффициент в нижней строке получается умножением предыдущего полученного коэффициента на корень делителя (2) и сложением с соответствующим коэффициентом из верхней строки.

Коэффициенты частного — это числа в последней строке, кроме последнего: $6, 1, 2$. Таким образом, частное равно $6x^2 + x + 2$. Последнее число (3) — это остаток от деления.

Ответ: $6x^2 + x + 2$ (остаток 3).

2) $(2x^4 - x^3 - x^2 + 3x - 2) : (x + 2)$

Делим многочлен $P(x) = 2x^4 - x^3 - x^2 + 3x - 2$ на двучлен $(x + 2)$, что эквивалентно делению на $(x - c)$ при $c=-2$. Коэффициенты многочлена: $2, -1, -1, 3, -2$.

Составим таблицу по схеме Горнера:

Коэффициенты частного: $2, -5, 9, -15$. Частное: $2x^3 - 5x^2 + 9x - 15$. Остаток: $28$.

Ответ: $2x^3 - 5x^2 + 9x - 15$ (остаток 28).

3) $(3x^5 + 3x^4 + x^3 - x - 2) : (x + 1)$

Делим многочлен $P(x) = 3x^5 + 3x^4 + x^3 + 0x^2 - x - 2$ на двучлен $(x + 1)$, т.е. $c=-1$. Коэффициенты многочлена: $3, 3, 1, 0, -1, -2$.

Составим таблицу по схеме Горнера:

Коэффициенты частного: $3, 0, 1, -1, 0$. Частное: $3x^4 + 0x^3 + 1x^2 - 1x + 0 = 3x^4 + x^2 - x$. Остаток: $-2$.

Ответ: $3x^4 + x^2 - x$ (остаток -2).

4) $(3x^3 + 4x^2) : (3x + 2)$

Стандартная схема Горнера применяется для делителя вида $(x - c)$. Наш делитель — $(3x + 2)$. Представим его как $3(x + 2/3)$. Процесс деления будет состоять из двух шагов:
1. Делим многочлен $P(x) = 3x^3 + 4x^2 + 0x + 0$ на $(x + 2/3)$, используя схему Горнера с $c = -2/3$.
2. Полученное частное делим на 3. Остаток при этом не меняется.

Шаг 1: Деление на $(x - (-2/3))$. Коэффициенты многочлена: $3, 4, 0, 0$.

После первого шага мы получили промежуточное частное $Q'(x) = 3x^2 + 2x - 4/3$ и остаток $R = 8/9$.

Шаг 2: Делим коэффициенты промежуточного частного на 3, чтобы получить итоговое частное $Q(x)$.

$Q(x) = \frac{Q'(x)}{3} = \frac{3x^2 + 2x - 4/3}{3} = x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{4}{9}$.

Остаток остается тем же: $R = 8/9$.

Ответ: $x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{4}{9}$ (остаток 8/9).

299. При каком значении $a$ многочлен $x^3 + ax + 1$ при делении на двучлен $x - a$ даёт остаток, равный 3?

Для решения этой задачи используется теорема Безу (следствие из теоремы о делении многочленов с остатком). Она гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен значению этого многочлена в точке $x=c$, то есть $R = P(c)$.

В нашем случае дан многочлен $P(x) = x^3 + ax + 1$ и двучлен $x-a$. По условию, при делении $P(x)$ на $x-a$ остаток $R$ равен 3.

Согласно теореме Безу, остаток равен значению многочлена в точке $x=a$. Таким образом, мы можем записать:

$P(a) = 3$

Подставим значение $x=a$ в наш многочлен:

$P(a) = a^3 + a \cdot a + 1 = a^3 + a^2 + 1$

Теперь приравняем полученное выражение к заданному остатку, равному 3:

$a^3 + a^2 + 1 = 3$

Перенесем 3 в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение относительно переменной $a$:

$a^3 + a^2 - 2 = 0$

Для решения этого уравнения попробуем найти его целые корни. Если у уравнения есть целые корни, то они являются делителями свободного члена (-2). Делителями числа -2 являются числа: $\pm1, \pm2$.

Выполним проверку, подставляя эти значения вместо $a$:

• Если $a=1$, то $1^3 + 1^2 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Следовательно, $a=1$ является корнем уравнения.
• Если $a=-1$, то $(-1)^3 + (-1)^2 - 2 = -1 + 1 - 2 = -2 \ne 0$.
• Если $a=2$, то $2^3 + 2^2 - 2 = 8 + 4 - 2 = 10 \ne 0$.
• Если $a=-2$, то $(-2)^3 + (-2)^2 - 2 = -8 + 4 - 2 = -6 \ne 0$.

Мы нашли один действительный корень $a=1$. Чтобы проверить, есть ли другие действительные корни, разделим многочлен $a^3 + a^2 - 2$ на $(a-1)$:

$(a^3 + a^2 - 2) \div (a-1) = a^2 + 2a + 2$

Таким образом, уравнение можно представить в виде:

$(a-1)(a^2 + 2a + 2) = 0$

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $a-1 = 0 \implies a = 1$.

2) $a^2 + 2a + 2 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного уравнения $a^2 + 2a + 2 = 0$ нет действительных корней.

Следовательно, единственное значение $a$, удовлетворяющее условию задачи, — это $a=1$.

Ответ: $a=1$.