Номер 299, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

299. При каком значении $a$ многочлен $x^3 + ax + 1$ при делении на двучлен $x - a$ даёт остаток, равный 3?

Для решения этой задачи используется теорема Безу (следствие из теоремы о делении многочленов с остатком). Она гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен значению этого многочлена в точке $x=c$, то есть $R = P(c)$.

В нашем случае дан многочлен $P(x) = x^3 + ax + 1$ и двучлен $x-a$. По условию, при делении $P(x)$ на $x-a$ остаток $R$ равен 3.

Согласно теореме Безу, остаток равен значению многочлена в точке $x=a$. Таким образом, мы можем записать:

$P(a) = 3$

Подставим значение $x=a$ в наш многочлен:

$P(a) = a^3 + a \cdot a + 1 = a^3 + a^2 + 1$

Теперь приравняем полученное выражение к заданному остатку, равному 3:

$a^3 + a^2 + 1 = 3$

Перенесем 3 в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение относительно переменной $a$:

$a^3 + a^2 - 2 = 0$

Для решения этого уравнения попробуем найти его целые корни. Если у уравнения есть целые корни, то они являются делителями свободного члена (-2). Делителями числа -2 являются числа: $\pm1, \pm2$.

Выполним проверку, подставляя эти значения вместо $a$:

• Если $a=1$, то $1^3 + 1^2 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Следовательно, $a=1$ является корнем уравнения.
• Если $a=-1$, то $(-1)^3 + (-1)^2 - 2 = -1 + 1 - 2 = -2 \ne 0$.
• Если $a=2$, то $2^3 + 2^2 - 2 = 8 + 4 - 2 = 10 \ne 0$.
• Если $a=-2$, то $(-2)^3 + (-2)^2 - 2 = -8 + 4 - 2 = -6 \ne 0$.

Мы нашли один действительный корень $a=1$. Чтобы проверить, есть ли другие действительные корни, разделим многочлен $a^3 + a^2 - 2$ на $(a-1)$:

$(a^3 + a^2 - 2) \div (a-1) = a^2 + 2a + 2$

Таким образом, уравнение можно представить в виде:

$(a-1)(a^2 + 2a + 2) = 0$

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $a-1 = 0 \implies a = 1$.

2) $a^2 + 2a + 2 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного уравнения $a^2 + 2a + 2 = 0$ нет действительных корней.

Следовательно, единственное значение $a$, удовлетворяющее условию задачи, — это $a=1$.

Ответ: $a=1$.